Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

轴对称与路径 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：标出直角与等长标记，读出垂直平分2 / 2

把图中的直角符号与等长标记翻译成两句话：

l ⊥ A A^{'}

（垂直），

A H = H A^{'}

（平分）。于是

l

是

A A^{'}

的垂直平分线，

l

上任意一点到

A

、

A^{'}

的距离都相等。→ 得到

P A = P A^{'}

，把“对称”转化为“距离相等”，这是最短路径模型的核心工具

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1连接对应点 AA′，交 l 于 H
连接 $A$ 与 $A^{'}$ ，与对称轴 $l$ 交于点 $H$ 。图中 $A H = H A^{'}$ ， $H$ 处的直角符号表示 $A A^{'} ⊥ l$ 。
→ 得到“ $l$ 垂直平分 $A A^{'}$ ”，这是所有轴对称性质的来源
2标出直角与等长标记，读出垂直平分
把图中的直角符号与等长标记翻译成两句话： $l ⊥ A A^{'}$ （垂直）， $A H = H A^{'}$ （平分）。于是 $l$ 是 $A A^{'}$ 的垂直平分线， $l$ 上任意一点到 $A$ 、 $A^{'}$ 的距离都相等。
→ 得到 $P A = P A^{'}$ ，把“对称”转化为“距离相等”，这是最短路径模型的核心工具

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

基础轴对称模型

轴对称的定义只说“沿 l 翻折后两点重合”，这句话本身不能直接算长度。连接 AA′ 后，翻折把 ∠AHl 折到 ∠A′Hl 上，两个角相等又互补，所以都是 90°；AH 折到 A′H 上，所以 AH = HA′。“垂直”与“平分”这两条信息一旦写出来，任何一道与对称有关的题都能落到全等三角形上：以 H 为公共顶点、PH 为公共边，两对直角相等，SAS 立刻给出 PA = PA′。辅助线的价值，就在于把“翻折”这个动作翻译成“垂直 + 中点 + 全等”。

NEW RELATIONS

$l ⊥ A A^{'}$ ， $A H = H A^{'}$ ，即 $l$ 垂直平分 $A A^{'}$
对 $l$ 上任意点 $P$ ， $P A = P A^{'}$ ，且 $l$ 平分 $∠ A P A^{'}$
$△ P A H ≅ △ P A^{'} H$ （SAS）
若 $A$ 、 $A^{'}$ 关于 $l$ 对称，则 $A A^{'}$ 的中点 $H$ 在 $l$ 上
垂直平分线的判定：若 $P A = P A^{'}$ ，则 $P$ 在 $A A^{'}$ 的垂直平分线上
$P A + P B = P A^{'} + P B \geq A^{'} B$ （由此引出将军饮马）

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。