GeoReflex几何反射GEOMETRY MODEL LAB

Model Library

几何模型库

46 张标准知识卡片，覆盖 6 大分类。每张卡片都包含「条件 → 模型 → 辅助线 → 新关系 → 证明」的完整链条。

46

模型

110

辅助线步骤

319

证明步骤

共 46 个模型

倍长线段模型

把经过中点的线段延长一倍，得到一对中心对称的全等三角形（8 字型），从而把线段搬到别处，得到相等与平行。

全等与旋转中点与线段

三角形中位线模型

三角形两边中点的连线叫中位线，它平行于第三边，并且等于第三边的一半；反过来，过一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。

中点与线段

角平分线基本性质模型

角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

等腰三角形

等腰三角形性质模型

等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等；顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。

等腰与等边

手拉手模型

两个顶角相等的等腰三角形共顶角顶点，连接两组对应底角点，得到一对旋转全等三角形。

全等与旋转

一线三垂直模型

同一条直线上出现三个直角顶点，且中间那个角的两边相等时，两侧的直角三角形全等，可把线段“上下互换”，得到线段的和差关系。

全等与旋转

旋转全等模型

把一个三角形绕定点旋转一定角度得到另一个三角形，两者全等；反过来，有公共顶点、两组对应边相等且夹角相等的两个三角形，一定可以用旋转来解释。

全等与旋转

倍长中线模型

三角形中出现中线（或中点）时，把中线延长一倍，构造一对中心对称的全等三角形，把分散的边和角搬到同一个三角形里。

中点与线段

将军饮马模型

直线同侧有两点 A、B，在直线上求一点 P 使 PA + PB 最小：作 A 关于直线的对称点 A′，连 A′B 交直线于 P，最小值就是 A′B。

轴对称与路径

双角平分线模型

三角形两个内角平分线的夹角等于 90° 加第三个角的一半；两条外角平分线的夹角等于 90° 减第三个角的一半；一内一外的夹角等于第三个角的一半。

等腰三角形

等腰三角形判定模型

一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。

等腰与等边

等腰三角形

等腰三角形三线合一模型

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；知道其中一条，就能推出另外两条。

等腰与等边

相似三角形判定与性质（相似基础）

两个三角形的对应角分别相等、对应边成比例，就说这两个三角形相似。相似把“形状”和“大小”分开：形状由角决定，大小由相似比

k

决定。它是相似一章的总纲，属于八、九年级衔接的拓展内容，八年级同学可以先记住“角相等、边成比例”这句话，等学完相似判定再回头补证明。

相似与比例

半角模型

正方形（或等腰直角三角形）中，从顶点出发的 45° 角两边交两边，把其中一个三角形旋转 90°，可把两条短线段拼成一条，得到 EF=BE+DF。

全等与旋转

斜边中线模型

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，于是斜边中点把直角三角形分成两个等腰三角形；反过来，若一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形。

中点与线段

中点与全等三角形构造

中点天然提供一组等边，把中点与已知点相连又得到公共边，只要再补上“垂直”或“对顶角”，就能用 SAS 造出一对全等三角形。

中点与线段

基础轴对称模型

轴对称的两个点，其连线被对称轴垂直平分；反过来，到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

轴对称与路径

等边三角形

等边三角形构造模型

遇到顶角 120° 的等腰三角形，以底边为边向外作等边三角形，可把 120° 拆成两个 60°，同时得到垂直、平分与 2 倍关系。

全等与旋转等腰与等边

等腰直角三角形

等腰直角三角形构造模型

等腰直角三角形中，斜边中点与直角顶点的连线垂直平分斜边；过中点作两条互相垂直的线段交两腰，得到 90° 旋转全等，两条线段相等。

全等与旋转等腰与等边

翻折模型

把图形沿一条直线折叠，重合的部分全等：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应线段相等、对应角相等，常配合勾股定理列方程求长度。

轴对称与路径

角平分线垂线模型

在角平分线上取一点，向角的两边作垂线，得到一对全等直角三角形，两条垂线段相等，两个垂足到顶点的距离也相等。

角平分线与平行线模型

过角平分线上一点作角的一边的平行线，与另一边相交，得到一个等腰三角形；角平分线、平行线、等腰三角形三者知二推一。

角平分线翻折模型

把角的一边沿角平分线翻折到另一边，得到一个与原来全等的三角形，从而把分散的边、角搬到同一条直线上。

角平分线与等腰三角形模型

角平分线、平行线、等腰三角形三者中，知道任意两个就能推出第三个；在三角形里常表现为“角平分线 + 平行线 ⇒ 等腰”。

角平分线等腰与等边

角平分线与全等三角形模型

在角平分线所夹的较长边上截取一段等于较短边，连接截点与角平分线上的点，得到一对全等三角形，把两条边拼到同一条直线上。

A 字模型（平行截相似）

在三角形中，一条平行于底边的线段截两边，截出的小三角形与大三角形相似，图形像汉字“A”。它是“平行线分线段成比例”与“相似三角形”之间最直接的桥梁，属于八、九年级衔接的拓展内容：八年级可以先把它当作“平行线分线段成比例”的图形来用，九年级再用相似三角形正式证明。

相似与比例

8 字模型（对顶相似）

两条直线相交于一点，再加一组平行线，就得到一对“8 字”形的相似三角形。它提供的是“交点分线段成比例”这一结论，是求线段比、证中点、算面积的常用工具。属于八、九年级衔接的拓展内容，八年级可以先用内错角与平行线分线段成比例理解，九年级再用相似正式书写。

相似与比例

一线三等角模型

同一直线上出现三个相等的角，可推出两个三角形有两组角对应相等，从而第三个角也相等；再补一组对应边，就能用 ASA 或 AAS 判定全等。

全等与旋转

截长补短模型

当结论是两条线段之和等于第三条线段时，在长线段上截取一段等于短线段（截长），或把短线段延长（补短），用全等把分散的线段拼到同一直线上。

全等与旋转

特殊角旋转模型

在等边三角形（或含 60°、90° 的特殊图形）中，把一个三角形绕顶点旋转特殊角，可把三条分散的线段聚成同一个三角形的三边，从而求角或证不等式。

全等与旋转

中点与平行线构造

过一边中点作另一边的平行线，必平分第三边；把中点放进一个三角形里连成中位线，就能在“平行”与“一半”之间来回转化。

中点与线段

胡不归模型

求 PA + k·PB（0<k<1）的最小值：过 B 作射线 BD 使它与直线的夹角 α 满足 sin α = k，过 A 作 AH ⊥ BD 于 H，AH 与直线的交点就是 P，最小值等于 AH。

轴对称与路径

反 A 字模型（共角相似）

两个三角形有一个公共角，再有一对“错位”的角相等，就相似，图形像倒过来的“A”。它和 A 字模型只差一个条件——

D E

B C

不平行，但比例式的对应关系完全相反，是最容易写错的一类相似。属于衔接拓展内容，八年级可先了解“共角 + 一对等角”的图形，九年级再练对应关系。

相似与比例

一线三等角相似模型（同线三等角）

同一直线上依次有三个相等的角，两侧的两个三角形就相似。它把“角相等”与“三点共线”结合起来，是相似里最能“倒角”的模型；当三个角都是

9 0^{\circ}

时就是“一线三垂直”。属于衔接拓展内容，八年级可以先了解“三个等角 + 三点共线”的图形，九年级再练倒角与比例式。

相似与比例

母子型与射影定理（斜边上的高）

直角三角形斜边上的高，把大三角形分成两个小直角三角形，三者两两相似，于是得到三条平方关系，统称射影定理。这是相似与勾股定理之间最漂亮的一座桥。属于衔接拓展内容，八年级可先用面积法算斜边上的高，九年级再用相似给出三条式子。

相似与比例

脚拉脚模型

两个等腰三角形共用一条底边，连接两个顶角，得到一对全等三角形，并且连线垂直平分公共底边。

全等与旋转

角平分线截等长线段模型

在角的两边上分别截取到顶点距离相等的两点，再与角平分线上一点相连，得到一对全等三角形，两条连线相等，角平分线垂直平分两截点的连线。

等边三角形

背靠背模型

两个等边三角形共用一条边并分居两侧，得到菱形

A C B D

，对角线互相垂直平分，且

∠ C A D = ∠ C B D = 12 0^{\circ}

全等与旋转

蝴蝶模型

两条平行线被两条截线所截，若交点是一条截线的中点，则另一条截线也被平分，四边形成为平行四边形。

中点与线段

等腰三角形

等腰三角形与全等三角形模型

等腰三角形底边上取到两端距离相等的两点，分别与顶角相连，得到一对全等三角形，两条连线相等，中间的小三角形也是等腰三角形。

等腰与等边

平行线分线段成比例（比例基本定理）

三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例。它是 A 字、8 字模型共同的“比例源头”，也是用面积法证明比例关系的经典范例。属于八、九年级衔接的拓展内容：八年级先用它算线段比，九年级再用相似三角形解释“为什么”。

相似与比例

面积法与等积式（同高面积比）

两个三角形若高相同，面积比就等于底边比。把这句话正用、反用、与相似结合用，就是“面积法”：它能求线段比、证中点、证等积式、证角平分线定理。属于八、九年级衔接的拓展内容，八年级可先用它算面积比，九年级再与相似三角形的面积比合并使用。

相似与比例

婆罗摩笈多模型

以三角形两边向外作正方形，两条“交叉线”相等且垂直；两个外侧顶点连线的中点与顶点的连线，垂直于第三边且等于第三边的一半，同时两个三角形面积相等。

全等与旋转

对角互补模型

四边形中一组对角互补且一组邻边相等时，把其中一个三角形绕公共顶点旋转，可使另三点共线，从而得到角平分线与线段和。

全等与旋转

线段和差转化模型

求证 a + b = c 时，把短线段“补”到长线段上（或把长线段“截”下一段），使三条线段落在同一条直线上，把和差问题转化为两条线段相等的问题。

中点与线段

线段最短路径转化模型

角的两边上各有一个动点，求三角形周长最小：作角内定点关于两边的对称点，两次对称把三条边拉成一条线段，最小值等于两对称点之间的距离。

轴对称与路径