全等与旋转等腰与等边八年级上

等边三角形构造模型

又称：120° 等腰造等边、向外作等边三角形

遇到顶角 120° 的等腰三角形，以底边为边向外作等边三角形，可把 120° 拆成两个 60°，同时得到垂直、平分与 2 倍关系。

难度进阶考试权重 6 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

见 120° 就补等边：底边一作等边，顶角一分为二，腰长翻倍、还有直角。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1以底边 $AB$ 为边向外作等边三角形 $ABD$：使

D

与

C

分居

A B

两侧，连接

A D

、

B D

，则

A D = B D = A B

，

∠ D A B = ∠ D B A = 6 0^{\circ}

。→ 把

12 0^{\circ}

的顶角与

6 0^{\circ}

的等边三角形角拼在一起，为

∠ C A D = 9 0^{\circ}

做准备

STEP 2连接 $CD$，交 $AB$ 于 $M$：由

C A = C B

、

D A = D B

知

C

、

D

都在

A B

的垂直平分线上，所以

C D

就是

A B

的垂直平分线；再由三线合一得

∠ A C D = ∠ B C D = 6 0^{\circ}

。→ 得到

C D ⊥ A B

、

M

为

A B

中点，以及

∠ C A D = 9 0^{\circ}

、

C D = 2 C A

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

C A = C B

，

∠ A C B = 12 0^{\circ}

；以

A B

为边在

C

的另一侧作等边三角形

A B D

，连接

C D

交

A B

于

M

。则

C D

垂直平分

A B

，

∠ A C D = ∠ B C D = 6 0^{\circ}

，

∠ C A D = ∠ C B D = 9 0^{\circ}

，且

C D = 2 C A = 2 C B

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1出现顶角为 $12 0^{\circ}$ 的等腰三角形（两个底角各 $3 0^{\circ}$ ）
2题目中有“以某边为边作等边三角形”的作图语言
3需要把 $12 0^{\circ}$ 拆成两个 $6 0^{\circ}$ ，或需要 $6 0^{\circ}$ 去凑直角三角形
4结论涉及一条线段是另一条的两倍，或需要证明垂直、平分
5图形中出现 $3 0^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ 、 $9 0^{\circ}$ 的特殊角组合

常见触发关键词

120°30°等边三角形向外作垂直平分2 倍特殊角

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
以底边 $AB$ 为边向外作等边三角形 $ABD$
使 $D$ 与 $C$ 分居 $A B$ 两侧，连接 $A D$ 、 $B D$ ，则 $A D = B D = A B$ ， $∠ D A B = ∠ D B A = 6 0^{\circ}$ 。
得到把 $12 0^{\circ}$ 的顶角与 $6 0^{\circ}$ 的等边三角形角拼在一起，为 $∠ C A D = 9 0^{\circ}$ 做准备
STEP 2
连接 $CD$，交 $AB$ 于 $M$
由 $C A = C B$ 、 $D A = D B$ 知 $C$ 、 $D$ 都在 $A B$ 的垂直平分线上，所以 $C D$ 就是 $A B$ 的垂直平分线；再由三线合一得 $∠ A C D = ∠ B C D = 6 0^{\circ}$ 。
得到得到 $C D ⊥ A B$ 、 $M$ 为 $A B$ 中点，以及 $∠ C A D = 9 0^{\circ}$ 、 $C D = 2 C A$

为什么这样添加辅助线

12 0^{\circ}

不是特殊角，但它是

6 0^{\circ}

的两倍：以

A B

为边向外补一个等边三角形，相当于把

12 0^{\circ}

的角“劈”成两个

6 0^{\circ}

，同时把

3 0^{\circ}

的底角与

6 0^{\circ}

拼成

9 0^{\circ}

。背后的想法是：等边三角形自带

6 0^{\circ}

旋转，把它和

12 0^{\circ}

等腰放在一起时，

C

与

D

关于

A B

的垂直平分线对称，

C D

就同时是中线、高与角平分线，

2 C A

的关系随之出现。

添加辅助线后产生的新关系

$C D$ 垂直平分 $A B$ （ $M$ 为 $A B$ 中点， $C D ⊥ A B$ ）
$∠ A C D = ∠ B C D = 6 0^{\circ}$ ， $∠ C A D = ∠ C B D = 9 0^{\circ}$
$C D = 2 C A = 2 C B$
$△ A C D ≅ △ B C D$ （SSS）
若 $A B = a$ ，则 $C A = C B = \frac{3}{3} a$ ， $C M = \frac{3}{6} a$ ， $D M = \frac{3}{2} a$ ， $C D = \frac{2 3}{3} a$
$S_{△ A B C} = \frac{3}{12} a^{2}$ ，而 $S_{△ A B D} = \frac{3}{4} a^{2}$

能使用哪些定理和性质

等边三角形三边相等，三个角都是 $60^\circ$等腰三角形三线合一线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上全等三角形判定：SSS含 $30^\circ$ 角的直角三角形中，$30^\circ$ 所对的直角边等于斜边的一半

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

C A = C B

，

∠ A C B = 12 0^{\circ}

，

△ A B D

是等边三角形且与

C

分居

A B

两侧。求证

C D ⊥ A B

，

∠ A C D = 6 0^{\circ}

，

C D = 2 C A

。

1 $C A = C B$ ， $D A = D B$ ， $C D = C D$
依据已知与公共边
2 $△ A C D ≅ △ B C D$
依据SSS
3 $∠ A C D = ∠ B C D$ ，又 $∠ A C D + ∠ B C D = 12 0^{\circ}$ ，故各为 $6 0^{\circ}$
依据全等三角形对应角相等；角的和
4 $C D ⊥ A B$ ，且 $M$ 为 $A B$ 中点
依据等腰 $△ C A B$ 中，顶角平分线、底边中线、底边高互相重合（三线合一）
5 $∠ C A B = ∠ C B A = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}$ ， $∠ D A B = 6 0^{\circ}$ ，故 $∠ C A D = 9 0^{\circ}$
依据等腰三角形两底角相等；等边三角形内角为 $6 0^{\circ}$ ；角的和
6在 $Rt △ A C D$ 中 $∠ A D C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ ，故 $A C = \frac{1}{2} C D$ ，即 $C D = 2 C A$
依据 $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半

补充说明

若

D

与

C

在

A B

同侧，等边三角形就落在

12 0^{\circ}

角内部：此时

C D = C A

（不是

2 C A

），

∠ C A D = 3 0^{\circ}

（不是

9 0^{\circ}

）。所以“在

C

的另一侧作”是必须写清的条件。

典型例题

题目如图，

△ A B C

中

C A = C B

，

∠ A C B = 12 0^{\circ}

，

A B = 6

。以

A B

为边在

C

的另一侧作等边三角形

A B D

，连接

C D

交

A B

于

M

。求

C A

、

C M

、

C D

与

∠ A C D

。已知：

C A = C B

，

∠ A C B = 12 0^{\circ}

，

A B = 6

，

△ A B D

为等边三角形。

解答

1 $M$ 为 $A B$ 中点， $A M = 3$
依据模型结论： $C D$ 垂直平分 $A B$
2 $∠ A C M = 6 0^{\circ}$
依据模型结论： $C D$ 平分 $12 0^{\circ}$ 的顶角
3 $∠ C A M = 3 0^{\circ}$ ，在 $Rt △ A M C$ 中 $C M = \frac{1}{2} C A$ ， $A M = \frac{3}{2} C A$
依据等腰三角形底角为 $3 0^{\circ}$ ；含 $3 0^{\circ}$ 角的直角三角形三边关系
4 $C A = \frac{A M}{\frac{3}{2}} = 23$
依据由上式解出
5 $C M = \frac{1}{2} C A = 3$
依据 $3 0^{\circ}$ 所对的直角边等于斜边一半
6 $D M = \frac{3}{2} A B = 33$ ， $C D = C M + D M = 43 = 2 C A$
依据等边三角形的高；线段相加

结论与点评

C A = 23

，

C M = 3

，

C D = 43

，

∠ A C D = 6 0^{\circ}

，与

C D = 2 C A

完全吻合。

常见变式

变式 1两个等边三角形“背靠背”

若

△ A B C

本身是等边三角形，以一边向外再作等边三角形，就得到背靠背模型：四边形是菱形，对角线互相垂直平分，出现

12 0^{\circ}

。

变式 2双等边三角形手拉手

以

A B

、

A C

为边分别向外作等边三角形，就得到两个共顶点

A

的等边三角形，可用手拉手模型证线段相等，旋转角为

6 0^{\circ}

。

变式 3同侧与异侧的对比

若

D

与

C

在

A B

同侧，则

C D = C A

、

∠ C A D = 3 0^{\circ}

；与异侧时的

C D = 2 C A

、

∠ C A D = 9 0^{\circ}

完全不同，画图时必须先确定在哪一侧。

变式 4用 2 倍关系反求

已知

C D

求

C A

、

A B

：由

C D = 2 C A

与

C A = \frac{3}{3} A B

可直接换算，避免再作辅助线。

易错点

!漏写“在 $C$ 的另一侧”，把等边三角形作到了内部。
!把 $C D = 2 C A$ 记成 $C D = C A$ ：那是同侧的情形。
!不先证 $C D$ 垂直平分 $A B$ 就用 $C M = \frac{1}{2} C A$ 。
!把 $∠ C A D = 9 0^{\circ}$ 当已知：它是由 $3 0^{\circ} + 6 0^{\circ}$ 推出来的。

关联模型

等边三角形