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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步
STEP 1连接两组对应底角点：连接 与 。注意对应关系： 与 是第一个等腰三角形的两底角， 与 是第二个等腰三角形的两底角，所以是“ 拉 、 拉 ”。→ 得到 与 ，它们有两组边相等，只差夹角
STEP 2证明夹角相等：由 ，两边同时加上公共角 ，得 。→ 满足 SAS，得到 ，进而
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模型的基本定义
如图， 中 ， 中 ，且 ，两个三角形共顶点 。连接 、，则 。这对全等可以看成把 绕点 旋转 得到 ，所以它属于旋转型全等。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1图中有两个等腰三角形共用同一个顶点
- 2公共顶点是两个三角形的顶角顶点（即 、）
- 3两个顶角相等：
- 4结论涉及连接对应底角点的线段（、）
- 5出现“绕某点旋转”或“两个正方形、两个等边三角形共顶点”的背景
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常见触发关键词
共顶点两边相等顶角相等等腰三角形旋转对应点连线等边三角形共点
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1连接 与 。注意对应关系： 与 是第一个等腰三角形的两底角， 与 是第二个等腰三角形的两底角，所以是“ 拉 、 拉 ”。
连接两组对应底角点
得到得到 与 ，它们有两组边相等，只差夹角 - STEP 2由 ，两边同时加上公共角 ，得 。
证明夹角相等
得到满足 SAS，得到 ，进而
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为什么这样添加辅助线
题目把相等的边分散在两个三角形里，直接看去没有对应关系。连接对应底角点，等于把“同一个旋转”的起点和终点连起来： 转到 ， 转到 ，于是 一定转到 。这样构造的目的，是把两组相等的边和相等的顶角集中到一对三角形中，用 SAS 一次证完。
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添加辅助线后产生的新关系
- ，且 与 的夹角等于旋转角
- ，可以继续倒角
- 若 与 交于 ，则
- 以正方形、等边三角形共顶点为背景时，还可得对应线段垂直或成特殊角
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能使用哪些定理和性质
全等三角形判定：SAS（两边及其夹角）旋转的性质：旋转前后图形全等，对应线段夹角等于旋转角三角形内角和定理（用于倒角）等腰三角形的两腰相等
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标求证 ，并求 与 的夹角。
- 1，依据已知两个等腰三角形
- 2，依据角的和差，注意
- 3依据等量代换（同加公共角 ）
- 4依据SAS：，，
- 5，依据全等三角形的对应边相等、对应角相等
- 6设 与 交于 ，则依据三角形内角和；其中 ，，再用 化简
补充说明
若两个等腰三角形的顶角不相等，则不能得到全等，只能得到“旋转相似”。判断手拉手的关键不是“有两个等腰三角形”，而是“公共顶点是顶角顶点且顶角相等”。12
典型例题
题目如图，、、 三点共线， 与 都是等边三角形，连接 、。求证：。已知：、、 共线；、 为等边三角形。
解答
- 1，，依据等边三角形的性质
- 2，依据、、 共线，平角减去
- 3依据等量代换
- 4依据SAS：，，
- 5依据全等三角形对应边相等
结论与点评两个等边三角形共顶点时，只要找准“对应底角点”，就能用 SAS 得到旋转全等。本题中 是公共顶点，、，所以 与 是对应边。
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常见变式
变式 1等腰直角三角形手拉手
把等边三角形换成等腰直角三角形：，，，则 且 。变式 2两个正方形共顶点
正方形 、 共顶点 ，连接 、，则 且 ，本质是旋转 的手拉手。变式 3手拉手求角度
已知 与 的交点为 ，求 ：先证全等，再用“ 字型”或三角形内角和把角集中到 。变式 4脚拉脚、背靠背对照
公共顶点变成底角顶点（脚拉脚）或两个三角形共用底边位于两侧（背靠背），辅助线与结论都会改变，不能混用。14
易错点
- !公共顶点必须是两个等腰三角形的顶角顶点；如果公共顶点是底角顶点，那是“脚拉脚”，不能套手拉手。
- !连接对应点时必须“左拉左、右拉右”，连成 、 一般得不到全等。
- !顶角相等这一条件不能漏；只有两组边相等时，SSA 不能判定全等。
- !用旋转解释时，旋转中心是公共顶点，旋转角是公共顶角，不要写成 。
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