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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步
STEP 1确定中心与旋转角，连接对应点：旋转中心是 ，旋转角是 ；对应关系是 、。连接 、，它们就是一对对应线段。→ 把旋转前后的对应线段画出来， 与 成为待证的一对
STEP 2证 $angle BAD=angle CAE$，用 SAS 收尾：由 ，两边同时减去公共角 ，得 。→ ，，且 与 的夹角等于旋转角
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模型的基本定义
如图， 与 都是等边三角形，共顶点 ， 在 上， 在形外。把 绕 沿 的方向旋转 ： 落到 上， 落到 上，于是 ，，，。一般地，只要 、、（都等于旋转角），就有 。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1两个三角形有一个公共顶点（旋转中心）
- 2从公共顶点出发的两组对应线段分别相等：，
- 3两组线段的夹角相等，都等于旋转角：
- 4需要证明“跨在两个三角形之间”的线段相等（）或求它们的夹角
- 5图形具有旋转对称的背景：等边三角形、正方形、正多边形、共顶点的等腰三角形
- 6需要确定旋转中心或旋转角
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常见触发关键词
共顶点旋转等边三角形正方形对应点旋转角BD=CE
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1旋转中心是 ，旋转角是 ；对应关系是 、。连接 、，它们就是一对对应线段。
确定中心与旋转角，连接对应点
得到把旋转前后的对应线段画出来， 与 成为待证的一对 - STEP 2由 ，两边同时减去公共角 ，得 。
证 $angle BAD=angle CAE$，用 SAS 收尾
得到，，且 与 的夹角等于旋转角
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为什么这样添加辅助线
旋转全等的本质是“同一个运动的起点与终点”： 转到 ， 转到 ，那么 一定转到 ，所以 且它们的夹角等于旋转角。要把这件事写成证明，就得把“旋转”翻译成 SAS：两组对应边相等来自“旋转中心到对应点的距离不变”，夹角相等来自“旋转角相等”。连接对应点，正是为了把这两组条件装进同一对三角形里。
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添加辅助线后产生的新关系
- （SAS）
- ，且 与 的夹角等于旋转角（图中为 ）
- ，
- 旋转中心到对应点的距离相等（，），对应点与中心连线的夹角都等于旋转角
- 旋转中心是两组对应点连线（ 与 ）的垂直平分线的交点
- 若 且 、，则 、 都是等边三角形，退化为手拉手
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能使用哪些定理和性质
旋转的性质：旋转前后图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角全等三角形判定：SAS等边三角形三边相等、三个角都是 $60^\circ$线段垂直平分线的性质（用于确定旋转中心）三角形内角和定理（用于倒角）
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标已知 、 都是等边三角形，共顶点 ， 在 上。求证 ，，。
- 1，依据等边三角形三边相等
- 2，依据角的差（ 在 内部， 在 的另一侧）
- 3依据等量代换（）
- 4依据SAS
- 5，依据全等三角形的对应边、对应角
- 6，故依据等边三角形内角为 ；等量代换
补充说明
旋转方向必须交代清楚：本题是把 绕 沿 的方向旋转 得到 。若把方向说反， 会落到 的另一侧，对应关系随之改变， 也不再成立。12
典型例题
题目如图， 是等边三角形， 在 上，以 为边在形外作等边三角形 ，连接 。已知 ，求 与 。已知：等边 、等边 ， 在 上，。
解答
- 1，，依据等边三角形性质
- 2依据两边同减
- 3依据SAS
- 4依据全等三角形的对应边相等
- 5依据全等对应角；等边三角形内角
- 6依据 在 上，故 ；角的和
结论与点评，。第 6 步的 来自“”，不是看图量出来的。
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常见变式
变式 1正方形中的旋转 90°
两个正方形 、 共顶点 ，连接 、，则 且 ，旋转角为 。变式 2旋转中心未知时怎么找
只给两组对应点 、 时，旋转中心是 与 的垂直平分线的交点；旋转角等于这两条“对应点连线”所夹的角，也等于 。变式 3旋转 120°
正六边形或顶角 的等腰三角形背景，旋转角为 ，对应线段的夹角也是 。变式 4与手拉手的区别
手拉手是“两个等腰三角形共顶角顶点且顶角相等”的特例；旋转全等更一般，只要有两组等距线段与相等的夹角，就能构造出旋转全等，不一定非得是等腰三角形。14
易错点
- !把旋转角写成 ：旋转角是 （对应点与中心连线的夹角）， 是三角形内角。
- !对应关系弄错：、，所以对应边是 、、。
- !只有两组边相等就写全等（SSA）：必须夹角相等。
- !用旋转性质时不说旋转中心和旋转角，过程不完整。
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