全等与旋转八年级上

半角模型

又称：45° 半角模型、正方形半角模型

正方形（或等腰直角三角形）中，从顶点出发的 45° 角两边交两边，把其中一个三角形旋转 90°，可把两条短线段拼成一条，得到 EF=BE+DF。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

正方形里 45° 角：转 90° 把短边搬到长边旁，两段拼成一段。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1在 $DC$ 的延长线上取 $G$，使 $DG=BE$：延长

C D

到

G

，使

D G = B E

。这一步等价于把

△ A B E

绕

A

旋转

9 0^{\circ}

，让

A B

落到

A D

上。→ 得到

A B = A D

、

∠ A B E = ∠ A D G = 9 0^{\circ}

、

B E = D G

，可用 SAS 证全等

STEP 2连接 $AG$、$GF$，证两次全等：由

△ A B E ≅ △ A D G

得

A E = A G

、

∠ B A E = ∠ D A G

，于是

∠ E A G = ∠ B A D = 9 0^{\circ}

，

∠ G A F = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ E A F

，再用 SAS 得

△ A E F ≅ △ A GF

。→

E F = GF = G D + D F = B E + D F

，问题转化为一条线段

模型的基本定义

如图，正方形

A B C D

中，

E

在

B C

上，

F

在

C D

上，且

∠ E A F = 4 5^{\circ}

。把

△ A B E

绕

A

旋转

9 0^{\circ}

（方向使

A B

落到

A D

），

E

落到

D C

延长线上的

G

（

D G = B E

）。则

△ A B E ≅ △ A D G

，

A E = A G

，

∠ E A G = 9 0^{\circ}

；又

∠ G A F = ∠ E A F = 4 5^{\circ}

，得

△ A E F ≅ △ A GF

，于是

E F = GF = B E + D F

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1出现正方形（或 $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ 且 $A B = A D$ 的图形）
2从一个顶点出发的两条线段夹角等于 $9 0^{\circ}$ 的一半，即 $4 5^{\circ}$
3这个 $4 5^{\circ}$ 角的两边分别交正方形的两条邻边
4结论形如 $E F = B E + D F$ 的线段和，或要求 $△ C E F$ 的周长
5需要证明角平分线（ $A F$ 平分 $∠ D F E$ ）或线段相等
6背景是正方形、等腰直角三角形、折叠

常见触发关键词

正方形45°半角线段和旋转 90°周长不变角平分线

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
在 $DC$ 的延长线上取 $G$，使 $DG=BE$
延长 $C D$ 到 $G$ ，使 $D G = B E$ 。这一步等价于把 $△ A B E$ 绕 $A$ 旋转 $9 0^{\circ}$ ，让 $A B$ 落到 $A D$ 上。
得到得到 $A B = A D$ 、 $∠ A B E = ∠ A D G = 9 0^{\circ}$ 、 $B E = D G$ ，可用 SAS 证全等
STEP 2
连接 $AG$、$GF$，证两次全等
由 $△ A B E ≅ △ A D G$ 得 $A E = A G$ 、 $∠ B A E = ∠ D A G$ ，于是 $∠ E A G = ∠ B A D = 9 0^{\circ}$ ， $∠ G A F = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ E A F$ ，再用 SAS 得 $△ A E F ≅ △ A GF$ 。
得到 $E F = GF = G D + D F = B E + D F$ ，问题转化为一条线段

为什么这样添加辅助线

4 5^{\circ}

是

9 0^{\circ}

的一半，直接算

E F

很别扭，因为

E F

斜跨在两个三角形之间。把

△ A B E

绕

A

旋转

9 0^{\circ}

后，

B E

被“搬”到

D G

的位置，与

D F

接在同一条直线

D C

上，

B E + D F

就变成一条线段

GF

；而

A E = A G

、

∠ E A F = ∠ G A F = 4 5^{\circ}

、

A F

公共，又保证

E F = GF

。辅助线的作用就是“搬线段”：把要求的两段拼成一段，再用一次全等把它换成

E F

。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B E ≅ △ A D G$ （SAS）
$A E = A G$ ， $∠ E A G = 9 0^{\circ}$ ， $△ A E G$ 是等腰直角三角形
$△ A E F ≅ △ A GF$ （SAS）， $E F = GF$
$E F = B E + D F$
$∠ A F E = ∠ A F D$ （ $A F$ 平分 $∠ D F E$ ）， $∠ A E F = ∠ A E B$ （ $A E$ 平分 $∠ B E F$ ）
$△ C E F$ 的周长 $= C E + C F + E F = B C + D C = 2 \cdot$ 边长

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：SAS正方形的四条边相等、四个角都是 $90^\circ$旋转的性质：旋转前后图形全等，对应线段相等同角的余角相等（或角的和差）勾股定理（用于在 $\mathrm{Rt}\triangle CEF$ 中列方程）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标正方形

A B C D

中，

E

在

B C

上，

F

在

C D

上，

∠ E A F = 4 5^{\circ}

。求证

E F = B E + D F

。

1在 $D C$ 的延长线上取 $G$ ，使 $D G = B E$ ，连接 $A G$ 、 $GF$
依据作图（把 $△ A B E$ 绕 $A$ 旋转 $9 0^{\circ}$ 的落点）
2 $△ A B E ≅ △ A D G$
依据SAS： $A B = A D$ ， $∠ A B E = ∠ A D G = 9 0^{\circ}$ ， $B E = D G$
3 $A E = A G$ ， $∠ B A E = ∠ D A G$
依据全等三角形的对应边、对应角
4 $∠ E A G = ∠ E A D + ∠ D A G = ∠ E A D + ∠ B A E = ∠ B A D = 9 0^{\circ}$
依据角的和；正方形的内角为 $9 0^{\circ}$
5 $∠ G A F = ∠ E A G - ∠ E A F = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ E A F$
依据角的差
6 $△ A E F ≅ △ A GF$
依据SAS： $A E = A G$ ， $∠ E A F = ∠ G A F$ ， $A F = A F$
7 $E F = GF = G D + D F = B E + D F$
依据全等对应边相等； $G$ 、 $D$ 、 $F$ 依次在同一条直线上

补充说明

也可以“补短”：把

△ A D F

绕

A

旋转

9 0^{\circ}

到

△ A B G^{'}

（

G^{'}

在

C B

的延长线上），同样得到

E F = B E + D F

。关键是旋转角必须等于

9 0^{\circ}

（即

∠ B A D

），而

∠ E A F

必须是它的一半。

典型例题

题目正方形

A B C D

的边长为

6

，

E

在

B C

上，

F

在

C D

上，

B E = 2

，

∠ E A F = 4 5^{\circ}

。求

D F

与

△ C E F

的周长。已知：边长

6

，

B E = 2

，

∠ E A F = 4 5^{\circ}

。

解答

1 $E F = B E + D F = 2 + D F$
依据半角模型结论
2 $C E = B C - B E = 4$ ， $C F = C D - D F = 6 - D F$
依据线段差
3在 $Rt △ C E F$ 中 $(2 + D F)^{2} = 4^{2} + (6 - D F)^{2}$
依据勾股定理
4 $4 + 4 D F + D F^{2} = 16 + 36 - 12 D F + D F^{2}$ ，解得 $D F = 3$
依据展开后移项、合并同类项
5 $E F = 2 + 3 = 5$ ，周长 $= 4 + 3 + 5 = 12$
依据代入；周长定义

结论与点评

D F = 3

，

△ C E F

的周长为

12

，恰等于

2 \times 6

，与“周长恒等于

2

倍边长”的结论一致。

常见变式

变式 1等腰直角三角形中的半角

在等腰直角

△ A B C

中（

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，

A B = A C

），

E

、

F

在斜边

B C

上，

∠ E A F = 4 5^{\circ}

，则

B E^{2} + C F^{2} = E F^{2}

：旋转

9 0^{\circ}

后

B E

与

C F

成为同一个直角三角形的两条直角边。

变式 2周长不变

只要

∠ E A F = 4 5^{\circ}

，无论

E

、

F

怎样移动，

△ C E F

的周长恒等于

2

倍边长，这是半角模型最直观的“不变量”。

变式 3补短版本

把

△ A D F

绕

A

旋转

9 0^{\circ}

到

△ A B G^{'}

，

G^{'}

落在

C B

的延长线上，同样得到

E F = B E + D F

，这是“补短”的另一种画法。

变式 4三等分角

若把

9 0^{\circ}

三等分成

3 0^{\circ} + 3 0^{\circ} + 3 0^{\circ}

，旋转的思路仍可用，但结论不再是简单的线段和，需要按同样方法逐段拼接。

易错点

!旋转方向搞反：必须让 $A B$ 转到 $A D$ ， $G$ 才落在 $D C$ 的延长线上。
!漏证 $∠ G A F = 4 5^{\circ}$ ，直接写 $△ A E F ≅ △ A GF$ 。
!把 $E F = B E + D F$ 用到非 $4 5^{\circ}$ 的角上：只有 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ 时才成立。
!在 $Rt △ C E F$ 中用勾股时把 $C F$ 写成 $C D + D F$ ： $F$ 在 $C D$ 上，应为 $C D - D F$ 。

关联模型

等腰直角三角形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

在 $DC$ 的延长线上取 $G$，使 $DG=BE$

连接 $AG$、$GF$，证两次全等

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

等腰直角三角形构造模型

旋转全等模型

特殊角旋转模型

截长补短模型