Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

全等与旋转 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：连接 $AG$、$GF$，证两次全等2 / 2

由

△ A B E ≅ △ A D G

得

A E = A G

、

∠ B A E = ∠ D A G

，于是

∠ E A G = ∠ B A D = 9 0^{\circ}

，

∠ G A F = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ E A F

，再用 SAS 得

△ A E F ≅ △ A GF

。→

E F = GF = G D + D F = B E + D F

，问题转化为一条线段

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1在 $DC$ 的延长线上取 $G$，使 $DG=BE$
延长 $C D$ 到 $G$ ，使 $D G = B E$ 。这一步等价于把 $△ A B E$ 绕 $A$ 旋转 $9 0^{\circ}$ ，让 $A B$ 落到 $A D$ 上。
→ 得到 $A B = A D$ 、 $∠ A B E = ∠ A D G = 9 0^{\circ}$ 、 $B E = D G$ ，可用 SAS 证全等
2连接 $AG$、$GF$，证两次全等
由 $△ A B E ≅ △ A D G$ 得 $A E = A G$ 、 $∠ B A E = ∠ D A G$ ，于是 $∠ E A G = ∠ B A D = 9 0^{\circ}$ ， $∠ G A F = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} = ∠ E A F$ ，再用 SAS 得 $△ A E F ≅ △ A GF$ 。
→ $E F = GF = G D + D F = B E + D F$ ，问题转化为一条线段

SELECT MODEL

WHY

4 5^{\circ}

是

9 0^{\circ}

的一半，直接算

E F

很别扭，因为

E F

斜跨在两个三角形之间。把

△ A B E

绕

A

旋转

9 0^{\circ}

后，

B E

被“搬”到

D G

的位置，与

D F

接在同一条直线

D C

上，

B E + D F

就变成一条线段

GF

；而

A E = A G

、

∠ E A F = ∠ G A F = 4 5^{\circ}

、

A F

公共，又保证

E F = GF

。辅助线的作用就是“搬线段”：把要求的两段拼成一段，再用一次全等把它换成

E F

。

NEW RELATIONS

$△ A B E ≅ △ A D G$ （SAS）
$A E = A G$ ， $∠ E A G = 9 0^{\circ}$ ， $△ A E G$ 是等腰直角三角形
$△ A E F ≅ △ A GF$ （SAS）， $E F = GF$
$E F = B E + D F$
$∠ A F E = ∠ A F D$ （ $A F$ 平分 $∠ D F E$ ）， $∠ A E F = ∠ A E B$ （ $A E$ 平分 $∠ B E F$ ）
$△ C E F$ 的周长 $= C E + C F + E F = B C + D C = 2 \cdot$ 边长

实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。