全等与旋转八年级上

特殊角旋转模型

又称：费马点旋转、60° 旋转聚线段

在等边三角形（或含 60°、90° 的特殊图形）中，把一个三角形绕顶点旋转特殊角，可把三条分散的线段聚成同一个三角形的三边，从而求角或证不等式。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

等边三角形里一点，绕顶点转 60°；三条线段凑成一个三角形。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1把 $\triangle ABP$ 绕 $A$ 旋转 $60^\circ$：以

A

为旋转中心，沿

A B \to A C

的方向旋转

6 0^{\circ}

：

B

落到

C

，

P

落到

P^{'}

；连接

A P^{'}

、

P P^{'}

、

P^{'} C

。→

△ A B P ≅ △ A C P^{'}

，

A P^{'} = A P

，

B P = C P^{'}

，

∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}

STEP 2读出 $\triangle APP'$ 与 $\triangle PCP'$：

A P = A P^{'}

且

∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}

，所以

△ A P P^{'}

是等边三角形，

P P^{'} = A P

；于是

△ P C P^{'}

的三边正好是

P A

、

P B

、

P C

。→ 把“三条线段”的问题转化为“一个三角形”的问题

模型的基本定义

如图，

△ A B C

是等边三角形，

P

是形内一点。把

△ A B P

绕

A

沿

A B \to A C

的方向旋转

6 0^{\circ}

得到

△ A C P^{'}

，则

A P^{'} = A P

、

∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}

，

△ A P P^{'}

是等边三角形，

P P^{'} = A P

；又

B P = C P^{'}

。于是

P A

、

P B

、

P C

恰好是

△ P C P^{'}

的三边：

P P^{'} = P A

、

P^{'} C = P B

、

P C

不变。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1图形中有等边三角形，或含 $6 0^{\circ}$ 、 $9 0^{\circ}$ 、 $12 0^{\circ}$ 的特殊角
2一点 $P$ 与三个顶点相连，形成 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 三条线段
3需要求 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 之间的角度关系，或证明关于它们的不等式
4需要把三条分散的线段“聚”到同一个三角形中
5题目出现“求 $∠ A P B$ ”“求 $P A + P B + P C$ 的最小值”等问法

常见触发关键词

等边三角形形内一点旋转 60°三条线段费马点求角线段和

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
把 $\triangle ABP$ 绕 $A$ 旋转 $60^\circ$
以 $A$ 为旋转中心，沿 $A B \to A C$ 的方向旋转 $6 0^{\circ}$ ： $B$ 落到 $C$ ， $P$ 落到 $P^{'}$ ；连接 $A P^{'}$ 、 $P P^{'}$ 、 $P^{'} C$ 。
得到 $△ A B P ≅ △ A C P^{'}$ ， $A P^{'} = A P$ ， $B P = C P^{'}$ ， $∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}$
STEP 2
读出 $\triangle APP'$ 与 $\triangle PCP'$
$A P = A P^{'}$ 且 $∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}$ ，所以 $△ A P P^{'}$ 是等边三角形， $P P^{'} = A P$ ；于是 $△ P C P^{'}$ 的三边正好是 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 。
得到把“三条线段”的问题转化为“一个三角形”的问题

为什么这样添加辅助线

P A

、

P B

、

P C

都从

P

出发，彼此没有直接关系，无法比较。旋转

6 0^{\circ}

的作用是“搬运”：

P B

被搬到

P^{'} C

，

P A

被搬到

P P^{'}

，三条线段于是首尾相接，围成

△ P C P^{'}

。为什么非选

6 0^{\circ}

？因为等边三角形中

A B

与

A C

的夹角就是

6 0^{\circ}

，只有转

6 0^{\circ}

才能让

B

精确落到

C

上；转其他角度，

B

的像不在

C

，就凑不出封闭三角形。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B P ≅ △ A C P^{'}$ （SAS）
$△ A P P^{'}$ 是等边三角形： $A P = P P^{'} = A P^{'}$ ， $∠ A P^{'} P = ∠ A P P^{'} = 6 0^{\circ}$
$B P = C P^{'}$ ， $∠ A P B = ∠ A P^{'} C$
$P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 是 $△ P C P^{'}$ 的三边，故 $∣ P B - P C ∣ < P A < P B + P C$
$∠ A P B = 6 0^{\circ} + ∠ P P^{'} C$ （ $P$ 在形内时），所以 $∠ A P B > 6 0^{\circ}$
若 $P A : P B : P C = 3 : 4 : 5$ ，则 $∠ P P^{'} C = 9 0^{\circ}$ ， $∠ A P B = 15 0^{\circ}$

能使用哪些定理和性质

旋转的性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等全等三角形判定：SAS等边三角形的判定：有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形三角形三边关系：任意两边之和大于第三边勾股定理的逆定理（由三边判断直角三角形）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标等边

△ A B C

内一点

P

，把

△ A B P

绕

A

旋转

6 0^{\circ}

得到

△ A C P^{'}

。求证

△ A P P^{'}

是等边三角形，

B P = C P^{'}

，且

P A

、

P B

、

P C

是

△ P C P^{'}

的三边。

1 $A P = A P^{'}$
依据旋转中心到对应点的距离相等
2 $∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}$
依据旋转角为 $6 0^{\circ}$
3 $△ A P P^{'}$ 是等边三角形， $P P^{'} = A P$
依据有一个角是 $6 0^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形
4 $A B = A C$ ， $A P = A P^{'}$ ， $∠ B A P = ∠ C A P^{'}$
依据等边三角形三边相等； $B$ 、 $P$ 的像分别是 $C$ 、 $P^{'}$
5 $△ A B P ≅ △ A C P^{'}$
依据SAS
6 $B P = C P^{'}$ ， $∠ A P B = ∠ A P^{'} C$
依据全等三角形的对应边、对应角
7 $△ P C P^{'}$ 的三边为 $P C$ 、 $C P^{'} = P B$ 、 $P P^{'} = P A$
依据线段代换

补充说明

旋转方向很关键：沿

A B \to A C

的方向转，

B

才落到

C

；反方向转

6 0^{\circ}

时

B

会落到形外的

B^{'}

，那时得到的是“求

P A + P B + P C

最小值”的另一套构造（见变式）。

典型例题

题目如图，

P

是等边三角形

A B C

内一点，

P A = 3

，

P B = 4

，

P C = 5

。求

∠ A P B

的度数。已知：

△ A B C

为等边三角形，

P

在形内，

P A = 3

，

P B = 4

，

P C = 5

。

解答

1把 $△ A B P$ 绕 $A$ 旋转 $6 0^{\circ}$ 到 $△ A C P^{'}$ ，则 $A P^{'} = 3$ ， $P P^{'} = 3$ ， $C P^{'} = B P = 4$
依据模型构造： $△ A P P^{'}$ 为等边三角形， $B P = C P^{'}$
2在 $△ P C P^{'}$ 中 $P P^{'} = 3$ 、 $P^{'} C = 4$ 、 $P C = 5$ ，而 $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
依据勾股定理的逆定理
3 $∠ P P^{'} C = 9 0^{\circ}$
依据勾股定理的逆定理： $P C$ 为斜边
4 $∠ A P^{'} P = 6 0^{\circ}$
依据 $△ A P P^{'}$ 是等边三角形
5 $∠ A P^{'} C = ∠ A P^{'} P + ∠ P P^{'} C = 6 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$
依据角的和（ $P^{'} P$ 落在 $∠ A P^{'} C$ 内部）
6 $∠ A P B = ∠ A P^{'} C = 15 0^{\circ}$
依据全等三角形的对应角相等

结论与点评

∠ A P B = 15 0^{\circ}

。通用套路是：先用旋转把三条线段拼成一个三角形，再由这个三角形的形状（直角、等边等）读出角度，最后把角搬回

∠ A P B

。

常见变式

变式 1求 $PA+PB+PC$ 的最小值

若把

B

旋转到

A B

外侧的

B^{'}

（旋转方向取反），则

P A + P B + P C = P P^{'} + P^{'} B^{'} + P C \geq C B^{'}

，当

C

、

P

、

P^{'}

、

B^{'}

共线时取最小值

C B^{'}

，此时的

P

就是费马点。

变式 2正方形中的 90° 版本

把等边三角形换成正方形（旋转角

9 0^{\circ}

），旋转后

△ A P P^{'}

成为等腰直角三角形，

P P^{'} = 2 P A

，同样能把几条线段“聚”成一个三角形，只是特殊角要换成

4 5^{\circ}

、

9 0^{\circ}

。

变式 3求另外两个角

同一构造还能求

∠ B P C

、

∠ A P C

：把

△ B P C

绕

B

旋转

6 0^{\circ}

，或把

△ A P C

绕

C

旋转

6 0^{\circ}

，分别得到它们与某个三角形形状的对应关系。

变式 4三线段的不等关系

由

△ P C P^{'}

的三边关系直接得到

∣ P B - P C ∣ < P A < P B + P C

，这类不等式题不需要任何具体数值。

易错点

!旋转方向搞反：必须让 $B$ 落到 $C$ ，否则 $B P$ 与 $C P^{'}$ 的对应关系不成立。
!把 $∠ A P^{'} C$ 直接当成 $∠ A P B$ ：要先由 $△ A B P ≅ △ A C P^{'}$ 得到对应角相等。
!忽略 $P$ 必须在形内： $P$ 跑到形外时， $∠ A P^{'} C = 6 0^{\circ} + ∠ P P^{'} C$ 的和会变成差。
!用 $3, 4, 5$ 判定直角时张冠李戴： $5$ 是最大边， $P C$ 对的才是 $∠ P P^{'} C$ 。

关联模型

旋转

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

把 $\triangle ABP$ 绕 $A$ 旋转 $60^\circ$

读出 $\triangle APP'$ 与 $\triangle PCP'$

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

旋转全等模型

手拉手模型

等边三角形构造模型

婆罗摩笈多模型