中点与线段八年级上

倍长中线模型

又称：中线倍长、倍长中线构造全等

三角形中出现中线（或中点）时，把中线延长一倍，构造一对中心对称的全等三角形，把分散的边和角搬到同一个三角形里。

难度进阶考试权重 8 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

见中线，加倍长；连一端，出全等，平行又等长。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1延长中线 AD 到 E，使 DE = AD：图中

D

已经是

B C

的中点。延长

A D

到

E

，截取

D E = A D

，于是

D

又成了

A E

的中点，两条线段

B C

与

A E

在

D

处互相平分。→ 得到

△ B D E

，它与

△ C D A

关于点

D

中心对称，只差把对应关系写出来

STEP 2连接 BE：连接

B E

后，

△ B D E

与

△ C D A

中：

B D = C D

（中点），

∠ B D E = ∠ C D A

（对顶角），

D E = D A

（作图），三个条件正好是 SAS。→ 得

△ B D E ≅ △ C D A

，于是

B E = A C

、

B E ∥ A C

，把

A C

搬到

B

处与

A B

相邻

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

D

是

B C

的中点，

A D

是中线。延长

A D

到

E

，使

D E = A D

，连接

B E

，则

△ B D E ≅ △ C D A

（SAS），于是

B E = A C

，且

B E ∥ A C

。倍长的本质是以

D

为中心的中心对称：把

△ C D A

绕点

D

旋转

18 0^{\circ}

，正好落到

△ B D E

上，所以

D

既是

B C

的中点，也是

A E

的中点。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1图形中出现三角形的中线，或某条线段的中点
2已知 $B D = D C$ （ $D$ 是 $B C$ 中点），要证的线段却分散在两个三角形里
3结论涉及两条线段的相等、平行，或两边之和与中线的不等关系
4要求中线 $A D$ 的取值范围
5图中出现“倍长”“延长一倍”“中心对称”等提示语

常见触发关键词

中线中点BD = DC线段不在同一三角形倍长证线段平行求中线范围

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
延长中线 AD 到 E，使 DE = AD
图中 $D$ 已经是 $B C$ 的中点。延长 $A D$ 到 $E$ ，截取 $D E = A D$ ，于是 $D$ 又成了 $A E$ 的中点，两条线段 $B C$ 与 $A E$ 在 $D$ 处互相平分。
得到得到 $△ B D E$ ，它与 $△ C D A$ 关于点 $D$ 中心对称，只差把对应关系写出来
STEP 2
连接 BE
连接 $B E$ 后， $△ B D E$ 与 $△ C D A$ 中： $B D = C D$ （中点）， $∠ B D E = ∠ C D A$ （对顶角）， $D E = D A$ （作图），三个条件正好是 SAS。
得到得 $△ B D E ≅ △ C D A$ ，于是 $B E = A C$ 、 $B E ∥ A C$ ，把 $A C$ 搬到 $B$ 处与 $A B$ 相邻

为什么这样添加辅助线

中线只给出 BD = DC 这一组等量，单独放在 △ABD 或 △ACD 里什么也判定不了。把 AD 延长一倍后，D 同时是 BC 与 AE 的中点，两条线段在 D 处互相平分——这正是中心对称的标志：△CDA 绕 D 旋转 180° 恰好落到 △BDE 上。于是 AC 被搬到 BE 的位置，∠C 被搬到 ∠EBD，原本分散在三角形两边的 AB、AC 与角，就集中到 △ABE 里，可以用三边关系、内角和继续推理。辅助线的作用不是“多画一条线”，而是给分散的条件找一个新的落脚点。

添加辅助线后产生的新关系

$△ B D E ≅ △ C D A$ （SAS）
$B E = A C$ ，且 $B E ∥ A C$
$A E = 2 A D$ ，即 $D$ 是 $A E$ 的中点
$∠ E B D = ∠ A C D$ ， $∠ B E D = ∠ C A D$ ，可以继续倒角
在 $△ A B E$ 中 $A B + B E > A E$ ，即 $A B + A C > 2 A D$ ，所以 $A D < \frac{1}{2} (A B + A C)$
同理 $A B - B E < A E$ ，得 $A D > \frac{1}{2} ∣ A B - A C ∣$ （中线取值范围的另一半）

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：SAS（两边及其夹角）对顶角相等三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边中心对称（旋转 180°）前后图形全等，对应线段平行且相等对角线互相平分的四边形是平行四边形

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

D

是

B C

的中点，延长

A D

到

E

使

D E = A D

。求证

B E = A C

、

B E ∥ A C

，并求

A D

的取值范围。

1 $B D = C D$
依据 $D$ 是 $B C$ 的中点
2 $∠ B D E = ∠ C D A$
依据对顶角相等
3 $D E = D A$
依据作图（延长一倍）
4 $△ B D E ≅ △ C D A$
依据SAS： $B D = C D$ ， $∠ B D E = ∠ C D A$ ， $D E = D A$
5 $B E = A C$
依据全等三角形的对应边相等
6 $∠ B E D = ∠ C A D$
依据全等三角形的对应角相等
7 $B E ∥ A C$
依据内错角相等，两直线平行
8 $\frac{1}{2} ∣ A B - A C ∣ < A D < \frac{1}{2} (A B + A C)$
依据在 $△ A B E$ 中用三边关系： $A B - B E < A E < A B + B E$ ，再代入 $B E = A C$ 、 $A E = 2 A D$

补充说明

“倍长”与“作平行线”是同一件事的两种说法：也可以过 B 作 BE ∥ AC 交 AD 的延长线于 E，结论完全一样。写全等时三个条件要按 SAS 的顺序交代清楚，尤其不要漏掉对顶角。另外，BE 与 AC 的平行关系是“对应角相等”推出来的，不能凭图上看出来。

典型例题

题目如图，

A D

是

△ A B C

的中线，

A B = 5

，

A C = 3

。求中线

A D

的取值范围。已知：

D

是

B C

中点，

A B = 5

，

A C = 3

。

解答

1延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$
依据倍长中线（辅助线）
2 $△ B D E ≅ △ C D A$
依据 $B D = C D$ （中点）、 $∠ B D E = ∠ C D A$ （对顶角）、 $D E = D A$ （作图），SAS
3 $B E = A C = 3$
依据全等三角形的对应边相等
4 $2 < A E < 8$
依据在 $△ A B E$ 中， $A B - B E < A E < A B + B E$ ，即 $5 - 3 < A E < 5 + 3$
5 $2 < 2 A D < 8$
依据 $A E = 2 A D$
6 $1 < A D < 4$
依据不等式两边同除以 2

结论与点评

A D

的取值范围是

1 < A D < 4

。记忆口诀：中线大于两边差的一半、小于两边和的一半。

常见变式

变式 1求证四边形是平行四边形

已知

D

是

B C

中点，

E

在

A D

的延长线上且

D E = A D

，求证四边形

A B E C

是平行四边形：对角线

A E

、

B C

在

D

处互相平分，直接由判定定理得到。

变式 2过中点的直线被中点平分

D

是

B C

中点，过

D

的直线交

A B

于

M

、交

A C

的延长线于

N

，且

D

也是

M N

的中点，则

B M = C N

：四边形

B M C N

的对角线互相平分，是平行四边形。

变式 3求中线取值范围

已知两边

a

、

b

，第三边上的中线

m

满足

\frac{1}{2} ∣ a - b ∣ < m < \frac{1}{2} (a + b)

，选择题、填空题中直接套用。

变式 4与中位线、斜边中线对照

三个模型都靠“中点”：倍长中线是“一个中点延长一倍”，中位线是“两个中点连成平行”，斜边中线是“直角 + 斜边中点”。条件不同，构造也不同，不能混用。

易错点

!只延长 AD 却不连接 BE，图上多了一条线，却没有出现可以判定全等的两个三角形。
!全等的对应顶点写错：应为 $△ B D E ≅ △ C D A$ （ $B$ 对 $C$ 、 $D$ 对 $D$ 、 $E$ 对 $A$ ），不是 $△ B D E ≅ △ A C D$ 。
!求中线范围时只写上限 $A D < \frac{1}{2} (A B + A C)$ ，漏掉由“两边之差”给出的下限。
!把“倍长中线”套到角平分线或高上：只有中线（中点）倍长后才得到中心对称的全等。

关联模型

中点

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

延长中线 AD 到 E，使 DE = AD

连接 BE

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

倍长线段模型

三角形中位线模型

斜边中线模型

中点与全等三角形构造