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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步
STEP 1连接两边中点 D、E： 是 中点、 是 中点，连接 ，图中 就是中位线；注意等长标记 、，它们说明 、 确实是中点，而不是“看起来在中点”。→ 得到中位线 ，把“两个中点”变成一条可以直接使用的线段
STEP 2延长 DE 到 F，使 EF = DE，连接 CF（证明用补图）：证明定理时在图上补出 ：延长 到 ，使 ，连接 。于是 ， 与 平行且相等。卡片示意图只画到中位线 ， 是证明时补出的点。→ 把 放大成 ，得到平行四边形 ，于是 、，即 、
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模型的基本定义
如图， 中 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 ，且 。这条线段叫三角形的中位线。一个三角形有三条中位线，它们把原三角形分成四个全等的小三角形，所以三条中位线围成的三角形周长是原三角形的一半、面积是原三角形面积的四分之一。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1图中有两个中点，且分别落在同一个三角形的两条边上
- 2已知“ 是 中点、 是 中点”或“ 过两边的中点”
- 3要求证两条线段平行，或求线段的二倍、一半关系
- 4出现“中点 + 平行”的组合，需要把平行关系搬到另一条边上
- 5求三角形周长、面积的一半，或求两点间无法直接测量的距离
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常见触发关键词
两个中点中点连线DE ∥ BC一半周长一半过中点作平行线平分第三边
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1是 中点、 是 中点，连接 ，图中 就是中位线；注意等长标记 、，它们说明 、 确实是中点，而不是“看起来在中点”。
连接两边中点 D、E
得到得到中位线 ，把“两个中点”变成一条可以直接使用的线段 - STEP 2证明定理时在图上补出 ：延长 到 ，使 ，连接 。于是 ， 与 平行且相等。卡片示意图只画到中位线 ， 是证明时补出的点。
延长 DE 到 F，使 EF = DE，连接 CF（证明用补图）
得到把 放大成 ，得到平行四边形 ，于是 、，即 、
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为什么这样添加辅助线
两个中点各自只给出“一半”，而“平行”这条信息在图上完全看不出来。要证平行，必须让 DE 与 BC 出现在同一个可以判定平行的图形里。把 DE 延长一倍得到 DF，此时 E 成了 DF 的中点，再由全等得 CF 与 AD 平行且相等；而 AD 与 DB 在同一条直线上且相等，于是 CF 与 DB 平行且相等，四边形 DBCF 成为平行四边形。DE 是 DF 的一半，而 DF 等于 BC，“平行”与“倍半”一次得到。一句话：中位线的“平行”靠平行四边形来证，“一半”靠全等来证。
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添加辅助线后产生的新关系
- ，
- 与 的对应边之比为 （学完相似后即相似比为 ）
- ，四边形 的面积
- 三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的一半、面积是原三角形的四分之一
- 过 作 交 于 ，则 与 重合（中位线定理的逆定理）
- 若再取 中点 ，则
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能使用哪些定理和性质
三角形中位线定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半中位线定理的逆定理：过一边中点且平行于另一边的直线，平分第三边全等三角形判定：SAS平行四边形的判定（一组对边平行且相等）与性质（对边平行且相等）等底等高的三角形面积相等
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标已知 、 分别是 、 的中点，求证 ，且 。
- 1延长 到 ，使 ，连接依据作图（补图）
- 2，，依据 是 中点；对顶角相等；作图
- 3依据SAS
- 4，依据全等三角形的对应边、对应角相等
- 5，即 ，且依据内错角相等得平行； 是 中点
- 6四边形 是平行四边形依据一组对边 、 平行且相等
- 7，，所以 ，依据平行四边形的对边平行且相等； 是 的中点
补充说明
中位线定理的逆定理同样常用：过三角形一边中点作另一边的平行线，必平分第三边，证明方法仍是“补图 + 平行四边形”。还要分清中位线（连两边中点）与中线（连顶点与对边中点）：前者平行于第三边，后者过顶点。12
典型例题
题目如图，、、 分别是 、、 的中点，，，。求 的长与 的周长。已知：三边中点已知，，，。
解答
- 1依据中位线定理（、 是 、 中点）
- 2依据中位线定理（、 是 、 中点）
- 3依据中位线定理（、 是 、 中点）
- 4 的周长依据三边相加
- 5 的周长依据三条中位线都是对应边的一半，可用来检验
结论与点评， 的周长为 ，恰好是 周长的一半。
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常见变式
变式 1求面积
三条中位线把三角形分成四个全等的小三角形，所以 ，四边形 的面积 。变式 2逆用中位线
已知 是 中点， 交 于 ，则 是 中点，且 。变式 3中点四边形
顺次连接任意四边形各边中点，得到的四边形是平行四边形，它的每条边都等于原四边形一条对角线的一半。变式 4中点 + 平行求长度
在 中 为 中点，过 作 交 于 ，若 ，则 ，且 平分 。14
易错点
- !把中位线和中线混为一谈：中位线连两边中点，中线连顶点与对边中点。
- !只记 而忘记 ，遇到需要平行传递的题就卡住。
- !全等证明中把对应顶点写错：应为 （ 对 、 对 、 对 ）。
- !认为“任意两个中点的连线”都等于第三边一半，却没说它们是同一个三角形两边的中点；在四边形里要另作分析。
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