中点与线段八年级下

中点与平行线构造

又称：中位线逆用、中点平行三等分

过一边中点作另一边的平行线，必平分第三边；把中点放进一个三角形里连成中位线，就能在“平行”与“一半”之间来回转化。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

中点配平行，必出另一中点；连成三角形，中位线显形。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接 BE 并延长，交 AC 于 F：图中

D

是

B C

中点，

E

是

A D

中点，连接

B E

并延长，与

A C

交于点

F

。这一步把

B

、

E

、

F

放到同一条直线上，为

△ B C F

的出现作准备。→ 得到一个包含中点

D

的三角形

△ B C F

，其中

F

在

A C

上

STEP 2取 CF 的中点 N，连接 DN：取

C F

的中点

N

（图中

F N = N C

），连接

D N

。因为

D

是

B C

中点、

N

是

C F

中点，

D N

是

△ B C F

的中位线。→ 得

D N ∥ B F

、

D N = \frac{1}{2} B F

；又

E

在

B F

上，所以

E F ∥ D N

，可以在

△ A D N

中再用一次中位线

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

D

是

B C

的中点，

E

是

A D

的中点，直线

B E

交

A C

于点

F

，取

C F

的中点

N

，连接

D N

。因为

D

、

N

分别是

B C

、

C F

的中点，

D N

是

△ B C F

的中位线，所以

D N ∥ B F

，即

D N ∥ E F

。再在

△ A D N

中，

E

是

A D

中点且

E F ∥ D N

，由中位线定理的逆定理，

F

是

A N

的中点，于是

A F = F N = N C

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1已知某条边的中点，需要证明某条直线平行，或证明另一个点也是中点
2图中出现“过中点作平行线”“平行线经过中点”的语句
3一条直线同时与两边（或两条线）相交，交点之一是中点
4需要证明三条线段相等（三等分），或证明线段的一半关系
5多个中点分散在不同三角形中，中位线定理暂时用不上

常见触发关键词

中点过中点作平行线平分第三边三等分AF = FN = NC两个中点中位线逆定理

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接 BE 并延长，交 AC 于 F
图中 $D$ 是 $B C$ 中点， $E$ 是 $A D$ 中点，连接 $B E$ 并延长，与 $A C$ 交于点 $F$ 。这一步把 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 放到同一条直线上，为 $△ B C F$ 的出现作准备。
得到得到一个包含中点 $D$ 的三角形 $△ B C F$ ，其中 $F$ 在 $A C$ 上
STEP 2
取 CF 的中点 N，连接 DN
取 $C F$ 的中点 $N$ （图中 $F N = N C$ ），连接 $D N$ 。因为 $D$ 是 $B C$ 中点、 $N$ 是 $C F$ 中点， $D N$ 是 $△ B C F$ 的中位线。
得到得 $D N ∥ B F$ 、 $D N = \frac{1}{2} B F$ ；又 $E$ 在 $B F$ 上，所以 $E F ∥ D N$ ，可以在 $△ A D N$ 中再用一次中位线

为什么这样添加辅助线

题目给的是两个中点（D、E），但它们在图中不属于同一个三角形，中位线定理用不上。连接 BE 并延长出 F，就把 D 装进了 △BCF：D 是 BC 中点，只要再有一个中点 N，DN 就是中位线，平行关系立刻出现。而 EF 本来就在 BF 上，于是 EF ∥ DN；再回到 △ADN，E 是 AD 中点、EF 平行于 DN，“过中点作平行线平分第三边”就把 F 变成 AN 的中点。两次中位线一正一反，AF = FN = NC 的三等分就出来了。这类题的关键，是先在图中“凑出一个能用中位线的三角形”。

添加辅助线后产生的新关系

$D N ∥ B F$ ， $D N = \frac{1}{2} B F$
$A F = F N = N C$ ，即 $F$ 、 $N$ 三等分 $A C$
$A F = \frac{1}{3} A C$ ， $F C = \frac{2}{3} A C$
$D N ∥ B E$ （因为 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 共线）
$S_{△ A B F} = S_{△ F B N} = S_{△ N B C}$ （同高，底边三等分）
$S_{△ A B F} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$

能使用哪些定理和性质

三角形中位线定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半中位线定理的逆定理：过一边中点作另一边的平行线，必平分第三边平行线的判定与性质等底同高的三角形面积相等

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

D

是

B C

中点，

E

是

A D

中点，

B E

的延长线交

A C

于

F

，

N

是

C F

的中点。求证

A F = F N = N C

。

1 $D$ 是 $B C$ 中点， $N$ 是 $C F$ 中点
依据已知
2 $D N ∥ B F$ ，即 $D N ∥ E F$
依据 $△ B C F$ 的中位线定理（ $E$ 、 $F$ 、 $B$ 在同一条直线上）
3 $E$ 是 $A D$ 的中点，且 $E F ∥ D N$
依据已知与上一步
4 $F$ 是 $A N$ 的中点，即 $A F = F N$
依据中位线定理的逆定理：过 $△ A D N$ 一边 $A D$ 的中点 $E$ 作 $D N$ 的平行线，必平分第三边 $A N$
5 $F N = N C$
依据 $N$ 是 $C F$ 的中点
6 $A F = F N = N C$
依据等量代换
7 $A F = \frac{1}{3} A C$ ， $F C = \frac{2}{3} A C$
依据 $A C = A F + F N + N C = 3 A F$

补充说明

若题目没有给出 N，可以改成“过 D 作 DN ∥ BF 交 AC 于 N”，同样得到 N 是 CF 的中点；两种作图方向互为逆定理，按题目已有的条件选一种。另外要看清“E 是 AD 中点”这个条件——它是第二次使用中位线逆定理的关键，漏掉它就无法把 AF 与 FN 联系起来。

典型例题

题目如图，在

△ A B C

中，

D

是

B C

的中点，

E

是

A D

的中点，

B E

的延长线交

A C

于点

F

。若

A C = 12

，

B F = 9

，求

A F

、

F C

的长与

D N

的长（

N

为

C F

的中点）。已知：

D

为

B C

中点，

E

为

A D

中点，

F

在

A C

上，

N

为

C F

中点，

A C = 12

，

B F = 9

。

解答

1取 $C F$ 的中点 $N$ ，连接 $D N$
依据辅助线
2 $D N ∥ B F$
依据 $△ B C F$ 的中位线定理（ $D$ 、 $N$ 分别是 $B C$ 、 $C F$ 的中点）
3 $A F = F N$
依据在 $△ A D N$ 中， $E$ 是 $A D$ 中点且 $E F ∥ D N$ ，由中位线逆定理得 $F$ 是 $A N$ 中点
4 $A F = F N = N C$ ，所以 $A C = 3 A F = 12$
依据等量代换
5 $A F = 4$ ， $F C = F N + N C = 8$
依据计算
6 $D N = \frac{1}{2} B F = 4.5$
依据中位线定理

结论与点评

A F = 4

，

F C = 8

，

D N = 4.5

；

A F : F C = 1 : 2

，

F

是

A C

的三等分点。

常见变式

变式 1中点 + 平行（逆定理直接用）

已知

D

是

B C

中点，

D E ∥ A C

交

A B

于

E

，则

E

是

A B

中点，且

D E = \frac{1}{2} A C

。

变式 2三中点连成中位线三角形

D

、

E

、

F

分别是

A B

、

A C

、

B C

的中点，则

△ D E F

的三边分别平行于原三角形的三边，且周长是原三角形的一半。

变式 3平行四边形中的三等分

在平行四边形

A B C D

中，

E

是

A D

的中点，

B E

交

A C

于

F

，则

A F = \frac{1}{3} A C

，

A F : F C = 1 : 2

，证法与本题相同（取

C F

中点连中位线）。

变式 4面积三等分

由

A F = F N = N C

得

S_{△ A B F} = S_{△ F B N} = S_{△ N B C} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}

，面积比可以直接由底边比得到。

易错点

!把中位线定理的逆定理当成“平行线等分线段”直接引用，却不写依据。
!漏掉“ $E$ 是 $A D$ 中点”就去证 $F$ 是 $A N$ 中点，条件不足。
!中位线找错三角形： $D N$ 是 $△ B C F$ 的中位线（ $D$ 、 $N$ 在 $B C$ 、 $C F$ 上），不是 $△ A B C$ 的中位线。
!把 $A F = F N = N C$ 写成“ $F$ 、 $N$ 是 $A C$ 的三等分点”却不说明三条线段相等，推理链就断了。

关联模型

中点

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接 BE 并延长，交 AC 于 F

取 CF 的中点 N，连接 DN

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

三角形中位线模型

倍长中线模型

平行线分线段成比例（比例基本定理）

面积法与等积式（同高面积比）