中点与线段八年级上

线段和差转化模型

又称：截长补短、补短法

求证 a + b = c 时，把短线段“补”到长线段上（或把长线段“截”下一段），使三条线段落在同一条直线上，把和差问题转化为两条线段相等的问题。

难度挑战考试权重 8 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

和差不好比，先搬到一条线上；补短或截长，化成一截对一截。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1延长 BD 到 E，使 DE = DB：

D

是垂足，

B

、

D

、

C

共线。在

D C

上截取

D E = D B

，等于把

B D

补到

D

的另一侧；因为后面会证出

B E = E C

，所以

E

就是

B C

的中点。→ 把

B D

搬到

D E

，于是

D C = D E + E C = B D + E C

，和式里只剩一条

E C

需要处理

STEP 2连接 AE：连接

A E

后，在

△ A B E

中

B E = 2 B D = A B

（因为

B D = \frac{1}{2} A B

），又

∠ B = 6 0^{\circ}

，所以

△ A B E

是等边三角形。→ 得

A E = B E = A B

；再由

E

是

B C

中点得

A E = E C

，所以

D C = B D + E C = B D + A B

模型的基本定义

如图，

Rt △ A B C

中

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 3 0^{\circ}

，

A D ⊥ B C

于

D

。延长

B D

到

E

，使

D E = D B

，连接

A E

，则

E

是

B C

的中点，

△ A B E

是等边三角形，

A E = E C

。于是

D C = D E + E C = B D + A E = B D + A B

，即

A B + B D = D C

。这就是“补短”：把要求证的短线段补到长线段所在的直线上，让和式变成一条线段。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1结论是线段的和差关系：a + b = c 或 c − a = b
2三条线段共线，或可以通过延长、截取放到同一条直线上
3图中出现 60°、30°、等腰或等边三角形，便于让“补出来”的线段与已知线段相等
4有中点、高（垂直）等能产生等长线段的构造
5要比较的两条线段分散在不同三角形里，无法直接相加

常见触发关键词

求证 a + b = c线段和差截长补短60°30°等腰三角形共线

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
延长 BD 到 E，使 DE = DB
$D$ 是垂足， $B$ 、 $D$ 、 $C$ 共线。在 $D C$ 上截取 $D E = D B$ ，等于把 $B D$ 补到 $D$ 的另一侧；因为后面会证出 $B E = E C$ ，所以 $E$ 就是 $B C$ 的中点。
得到把 $B D$ 搬到 $D E$ ，于是 $D C = D E + E C = B D + E C$ ，和式里只剩一条 $E C$ 需要处理
STEP 2
连接 AE
连接 $A E$ 后，在 $△ A B E$ 中 $B E = 2 B D = A B$ （因为 $B D = \frac{1}{2} A B$ ），又 $∠ B = 6 0^{\circ}$ ，所以 $△ A B E$ 是等边三角形。
得到得 $A E = B E = A B$ ；再由 $E$ 是 $B C$ 中点得 $A E = E C$ ，所以 $D C = B D + E C = B D + A B$

为什么这样添加辅助线

要证的 AB + BD = DC 里，三条线段一条在斜边上（DC）、一条在高上（BD）、一条是直角边（AB），分散在三处，没法直接相加。补短的思路是：在 DC 内部造出一条等于 BD 的线段 DE，这样 DC 就被拆成 DE + EC，“BD”换成了“DE”，和式里只剩 EC。接下来只要证明 EC = AB，问题就变成“两条线段相等”。而 ∠B = 60° 与 BE = AB 恰好让 △ABE 成为等边三角形，AE = BE = EC，一切接通。所以辅助线的目的，是把“三条线段的和差”压缩成“两条线段的相等”。

添加辅助线后产生的新关系

$A B + B D = D C$
$D E = D B$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点（ $B E = E C$ ）
$△ A B E$ 是等边三角形， $A E = B E = A B$
$∠ B A E = ∠ A E B = 6 0^{\circ}$ ， $∠ E A C = ∠ C = 3 0^{\circ}$
$A E = E C$ ， $△ A E C$ 是等腰三角形
$B D = \frac{1}{4} B C$ ， $D C = \frac{3}{4} B C$ （由 $3 0^{\circ}$ — $6 0^{\circ}$ — $9 0^{\circ}$ 的三边比 $1 : 3 : 2$ 得到）

能使用哪些定理和性质

等边三角形的判定：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形的判定（等角对等边）三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余线段的和差与等量代换

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

Rt △ A B C

中

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

A D ⊥ B C

于

D

，延长

B D

到

E

使

D E = D B

。求证

A B + B D = D C

。

1 $∠ C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$
依据三角形内角和
2 $A B = \frac{1}{2} B C$
依据直角三角形中 $3 0^{\circ}$ 角（ $∠ C$ ）所对的直角边等于斜边的一半
3 $∠ B A D = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ ， $B D = \frac{1}{2} A B$
依据在 $Rt △ A B D$ 中， $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半
4 $B E = 2 B D = A B$
依据 $D E = D B$ 与上一步的等量代换
5 $△ A B E$ 是等边三角形
依据 $A B = B E$ 且 $∠ B = 6 0^{\circ}$
6 $A E = B E$ ， $∠ B A E = 6 0^{\circ}$ ， $∠ E A C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = ∠ C$
依据等边三角形性质与角的和差
7 $A E = E C$
依据等角对等边
8 $D C = D E + E C = B D + A E = B D + A B$
依据线段和差与等量代换

补充说明

这里用到了“30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，它是等边三角形性质的一个推论。若把 60° 与 30° 对调，结论的形式会改变，画图时先看清哪条边是斜边、哪个角是 30°。另外，本题的 E 与“在 DC 上截取 DG = DB”的 G 是同一个点，所以截长法与补短法在这里殊途同归。

典型例题

题目如图，

Rt △ A B C

中

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

A D ⊥ B C

于

D

，

B C = 20

。求证

A B + B D = D C

，并求

B D

、

D C

的长。已知：

∠ B A C = 9 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

A D ⊥ B C

，

B C = 20

。

解答

1 $∠ C = 3 0^{\circ}$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = 10$
依据直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半
2 $∠ B A D = 3 0^{\circ}$ ， $B D = \frac{1}{2} A B = 5$
依据在 $Rt △ A B D$ 中同用这条性质
3延长 $B D$ 到 $E$ ，使 $D E = D B = 5$ ，连接 $A E$
依据辅助线（补短）
4 $B E = 10 = A B$ ，又 $∠ B = 6 0^{\circ}$
依据计算与已知
5 $△ A B E$ 是等边三角形， $A E = B E = 10$
依据有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
6 $E C = B C - B E = 10 = A E$ ， $D C = D E + E C = 5 + 10 = 15$
依据线段和差与等量代换

结论与点评

A B + B D = 10 + 5 = 15 = D C

，且

B D = 5

、

D C = 15

。

常见变式

变式 1截长法

在

D C

上截取

D G = D B

，连接

A G

，同样得

△ A B G

是等边三角形、

GC = A B

，于是

D C = D G + GC = B D + A B

。截长与补短本质相同，只是动刀的位置不同。

变式 2等腰三角形底边上一点

等腰

△ A B C

中

A B = A C

，

P

在

B C

上，

P E ⊥ A B

于

E

，

P F ⊥ A C

于

F

，则

P E + P F

等于腰上的高：用面积

S_{△ A B C} = S_{△ A B P} + S_{△ A P C}

把“和”转化为一条高。

变式 3等边三角形内一点

等边三角形内任一点到三边的距离之和等于它的高，同样用面积法证明，是“线段和转化”的面积版本。

变式 4结论形式互换

A B + B D = D C

等价于

D C - B D = A B

。判断该用截长还是补短，看哪条线段最长：最长的那条放在等号一边，另外两条搬到它所在的直线上。

易错点

!补出来的线段没有落在要比较的那条直线上，等于白补。
!证 $△ A B E$ 是等边三角形时只用 $A B = B E$ ，忘了“ $∠ B = 6 0^{\circ}$ ”这个条件。
!把“ $3 0^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半”用错边：在 $Rt △ A B D$ 中斜边是 $A B$ ，不是 $B D$ 。
!由 $D C = D E + E C$ 直接写 $D C = B D + A B$ ，跳过了 $E C = A B$ （或 $A E = E C$ ）的证明。

关联模型

全等

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

延长 BD 到 E，使 DE = DB

连接 AE

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

截长补短模型

倍长线段模型

斜边中线模型

面积法与等积式（同高面积比）