Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

中点与线段 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：连接 AE2 / 2

连接

A E

后，在

△ A B E

中

B E = 2 B D = A B

（因为

B D = \frac{1}{2} A B

），又

∠ B = 6 0^{\circ}

，所以

△ A B E

是等边三角形。→ 得

A E = B E = A B

；再由

E

是

B C

中点得

A E = E C

，所以

D C = B D + E C = B D + A B

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1延长 BD 到 E，使 DE = DB
$D$ 是垂足， $B$ 、 $D$ 、 $C$ 共线。在 $D C$ 上截取 $D E = D B$ ，等于把 $B D$ 补到 $D$ 的另一侧；因为后面会证出 $B E = E C$ ，所以 $E$ 就是 $B C$ 的中点。
→ 把 $B D$ 搬到 $D E$ ，于是 $D C = D E + E C = B D + E C$ ，和式里只剩一条 $E C$ 需要处理
2连接 AE
连接 $A E$ 后，在 $△ A B E$ 中 $B E = 2 B D = A B$ （因为 $B D = \frac{1}{2} A B$ ），又 $∠ B = 6 0^{\circ}$ ，所以 $△ A B E$ 是等边三角形。
→ 得 $A E = B E = A B$ ；再由 $E$ 是 $B C$ 中点得 $A E = E C$ ，所以 $D C = B D + E C = B D + A B$

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

线段和差转化模型

要证的 AB + BD = DC 里，三条线段一条在斜边上（DC）、一条在高上（BD）、一条是直角边（AB），分散在三处，没法直接相加。补短的思路是：在 DC 内部造出一条等于 BD 的线段 DE，这样 DC 就被拆成 DE + EC，“BD”换成了“DE”，和式里只剩 EC。接下来只要证明 EC = AB，问题就变成“两条线段相等”。而 ∠B = 60° 与 BE = AB 恰好让 △ABE 成为等边三角形，AE = BE = EC，一切接通。所以辅助线的目的，是把“三条线段的和差”压缩成“两条线段的相等”。

NEW RELATIONS

$A B + B D = D C$
$D E = D B$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点（ $B E = E C$ ）
$△ A B E$ 是等边三角形， $A E = B E = A B$
$∠ B A E = ∠ A E B = 6 0^{\circ}$ ， $∠ E A C = ∠ C = 3 0^{\circ}$
$A E = E C$ ， $△ A E C$ 是等腰三角形
$B D = \frac{1}{4} B C$ ， $D C = \frac{3}{4} B C$ （由 $3 0^{\circ}$ — $6 0^{\circ}$ — $9 0^{\circ}$ 的三边比 $1 : 3 : 2$ 得到）

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。