相似与比例八年级下

面积法与等积式（同高面积比）

又称：同高模型、面积比转线段比

两个三角形若高相同，面积比就等于底边比。把这句话正用、反用、与相似结合用，就是“面积法”：它能求线段比、证中点、证等积式、证角平分线定理。属于八、九年级衔接的拓展内容，八年级可先用它算面积比，九年级再与相似三角形的面积比合并使用。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

同高不同底，面积比就是底边比；算两次面积，等式一约线段出。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1连一条线，把图形分成两块：连接

A D

，把

△ A B C

分成

△ A B D

与

△ A C D

，它们共顶点

A

、底边都在

B C

上。→ 得到两个“同高”三角形，面积比可以互相转化

STEP 2作高，把面积写成“底 $\times$ 高”：过

A

作

A H ⊥ B C

于

H

。两个三角形的高都是

A H

，写面积时高可以约掉。→

\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} B D \cdot A H}{\frac{1}{2} D C \cdot A H} = \frac{B D}{D C}

STEP 3按需要把面积比翻译成线段比：求面积时用“底边比 = 面积比”；证等积式时改写成

\frac{1}{2} A B \cdot C D = \frac{1}{2} A C \cdot B D

的形式，或用夹角面积公式。→ 同一个工具既能求值，也能出证明

模型的基本定义

如图，

D

是

B C

上一点，

△ A B D

与

△ A C D

有公共顶点

A

，底边

B D

、

D C

在同一条直线

B C

上，所以它们的高相同，于是

\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C}

。反过来，面积比也能翻译成线段比；若两个三角形面积相等且同高，则底边相等。这就是面积法的两条基本用法。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1两个三角形有公共顶点，底边在同一条直线上（“同高”）
2要求线段比、面积比，或已知面积求线段
3要证明“等积式”，如 $A B \cdot C D = A C \cdot B D$
4图中出现中线、角平分线、等分点等“分割”结构
5一个图形被一条线分成两块，需要比较两块的大小

常见触发关键词

同高面积比底边比等积式分割中线角平分线

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连一条线，把图形分成两块
连接 $A D$ ，把 $△ A B C$ 分成 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ ，它们共顶点 $A$ 、底边都在 $B C$ 上。
得到得到两个“同高”三角形，面积比可以互相转化
STEP 2
作高，把面积写成“底 $\times$ 高”
过 $A$ 作 $A H ⊥ B C$ 于 $H$ 。两个三角形的高都是 $A H$ ，写面积时高可以约掉。
得到 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} B D \cdot A H}{\frac{1}{2} D C \cdot A H} = \frac{B D}{D C}$
STEP 3
按需要把面积比翻译成线段比
求面积时用“底边比 = 面积比”；证等积式时改写成 $\frac{1}{2} A B \cdot C D = \frac{1}{2} A C \cdot B D$ 的形式，或用夹角面积公式。
得到同一个工具既能求值，也能出证明

为什么这样添加辅助线

面积法的核心是“算两次”：同一个三角形用两种底、两种高算面积，或者两个三角形用同一个高算面积，等式两边一约，线段比就出来了。作高是把“面积”变成“底

\times

高”的唯一通道，所以哪怕题目没画高，也要在推理里补出来。

添加辅助线后产生的新关系

$\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C}$
$\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A B C}} = \frac{B D}{B C}$
$D$ 是 $B C$ 中点时 $S_{△ A B D} = S_{△ A C D} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$
$A D$ 平分 $∠ B A C$ 时 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ （角平分线定理，面积法证明）
相似三角形面积比等于相似比的平方
等高三角形的面积比等于底边比（同一原理的另一说法）

能使用哪些定理和性质

三角形面积公式同底等高的三角形面积相等比例的性质角平分线的定义相似三角形面积比等于相似比平方

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

D

在

B C

上，

A H ⊥ B C

于

H

，求证

\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C}

。

1 $S_{△ A B D} = \frac{1}{2} B D \cdot A H$ ， $S_{△ A C D} = \frac{1}{2} D C \cdot A H$
依据三角形面积公式；两个三角形的高都是 $A H$
2 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} B D \cdot A H}{\frac{1}{2} D C \cdot A H} = \frac{B D}{D C}$
依据代入后约去 $\frac{1}{2}$ 与 $A H$
3结论与 $A H$ 的具体长度无关，对 $B C$ 上任意一点 $D$ 都成立
依据等式两边同时约去了同一个量
4若 $D$ 是 $B C$ 中点，则 $B D = D C$ ， $S_{△ A B D} = S_{△ A C D}$
依据等底等高
5反之，若 $S_{△ A B D} = S_{△ A C D}$ ，则 $B D = D C$ ， $D$ 是 $B C$ 中点
依据同高，面积相等则底相等
6若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot A D s i n ∠ B A D}{\frac{1}{2} A C \cdot A D s i n ∠ C A D} = \frac{A B}{A C}$
依据两边夹角面积公式； $∠ B A D = ∠ C A D$ ，正弦值相等
7结合 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{B D}{D C}$ ，得 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$
依据等量代换，即角平分线定理

补充说明

面积法不写“作高”也能用：只要两个三角形“同高”，面积比就直接等于底边比。但初学时要写出高、说明“高为什么相等”，否则容易被判“理由不充分”。

典型例题

题目如图，

D

在

B C

上，

B D = 4

，

D C = 6

，

S_{△ A B D} = 12

。求

S_{△ A C D}

；若

A D

平分

∠ B A C

且

A B = 8

，求

A C

。已知：

D

在

B C

上，

△ A B D

与

△ A C D

同高。

解答

1作 $A H ⊥ B C$ 于 $H$
依据作高，把面积写成“底 $\times$ 高”
2 $S_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot A H = 12$ ，即 $2 A H = 12$ ，得 $A H = 6$
依据三角形面积公式
3 $S_{△ A C D} = \frac{1}{2} \cdot D C \cdot A H = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$
依据同一个高，面积与底成正比
4 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} = \frac{B D}{D C} = \frac{4}{6}$
依据检验同高面积比等于底边比
5 $\frac{S _{△ A B D}}{S _{△ A C D}} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot A D s i n ∠ B A D}{\frac{1}{2} A C \cdot A D s i n ∠ C A D} = \frac{A B}{A C}$
依据夹角面积公式； $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，两正弦相等
6 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C} = \frac{2}{3}$ ，即 $\frac{8}{A C} = \frac{2}{3}$ ，得 $A C = 12$
依据角平分线定理（由面积法得到）

结论与点评

S_{△ A C D} = 18

，

A C = 12

。本题两步用了面积法的两种形态：先“同高比底”求面积，再“夹角面积”导出角平分线定理。

常见变式

变式 1中线等分面积

D

是

B C

中点时，

A D

把

△ A B C

分成面积相等的两块，这是“中线等分面积”的证明。

变式 2角平分线定理

A D

平分

∠ B A C

⇒

\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}

，用面积法证明只需三行，比作平行线更快。

变式 3等积式证明

把同一个面积算两次（如

\frac{1}{2} A B \cdot C D = \frac{1}{2} A C \cdot B D

），即可得到线段乘积相等的等积式。

变式 4相似 + 面积比

先用相似求相似比，再用“面积比 = 相似比平方”，与“同高比底”联立可求复杂图形的面积。

易错点

!两个三角形不同高时直接用底边比（必须先说明“同高”，或补作高证明高相等）。
!面积比与相似比混用：面积比是相似比的平方，不是相似比。
!点在 $B C$ 的延长线上时，底边比要改成“和”或“差”，不能照搬 $B D : D C$ 。
!用面积法证角平分线定理时漏写 $∠ B A D = ∠ C A D$ ⇒ 两个正弦相等这一步。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连一条线，把图形分成两块

作高，把面积写成“底 $\times$ 高”

按需要把面积比翻译成线段比

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

A 字模型（平行截相似）

母子型与射影定理（斜边上的高）

平行线分线段成比例（比例基本定理）

角平分线基本性质模型