相似与比例八年级下

平行线分线段成比例（比例基本定理）

又称：平行线分线段成比例定理、三条平行线模型

三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例。它是 A 字、8 字模型共同的“比例源头”，也是用面积法证明比例关系的经典范例。属于八、九年级衔接的拓展内容：八年级先用它算线段比，九年级再用相似三角形解释“为什么”。

难度进阶考试权重 8 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

三条平行线截两刀，上比下、上比全，左右对应不能倒。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1连出四个三角形：连接

A E

、

B D

、

C E

、

B F

，把线段

A B

、

B C

与

D E

、

E F

分别放进三角形里。→ 线段的比被转化成三角形面积的比

STEP 2用“同底等高”搬面积：

l_{1} ∥ l_{2}

得

S_{△ A B E} = S_{△ D B E}

（同底

B E

、等高）；

l_{2} ∥ l_{3}

得

S_{△ B C E} = S_{△ B E F}

（同底

B E

、等高）。→ 把“上面一组”与“下面一组”的面积对应起来

STEP 3写面积比、约去高：

S_{△ A B E} = \frac{1}{2} A B \cdot d_{1}

，

S_{△ B C E} = \frac{1}{2} B C \cdot d_{2}

，两式相除后约去

d_{1}

、

d_{2}

，得

\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}

。→ 得到定理结论，也看清“为什么与平行线间距无关”

模型的基本定义

如图，三条平行线

l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}

截两条直线，交点依次为

A

、

B

、

C

与

D

、

E

、

F

（

A

、

D

在

l_{1}

上，

B

、

E

在

l_{2}

上，

C

、

F

在

l_{3}

上），则

\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}

。由合比还得到

\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F}

、

\frac{B C}{A C} = \frac{E F}{D F}

。一句话：被平行线截出的“对应线段”成比例。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1三条直线互相平行（ $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ）
2两条截线被这三条平行线依次截出 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 与 $D$ 、 $E$ 、 $F$
3要求“上比下”（ $A B : B C$ ）或“上比全”（ $A B : A C$ ）的线段比
4常与 A 字、8 字、三角形中位线一起出现
5或者要用比例式反推平行（仅在三角形内可直接逆用）

常见触发关键词

三条平行线截线对应线段成比例上比下合比等距

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连出四个三角形
连接 $A E$ 、 $B D$ 、 $C E$ 、 $B F$ ，把线段 $A B$ 、 $B C$ 与 $D E$ 、 $E F$ 分别放进三角形里。
得到线段的比被转化成三角形面积的比
STEP 2
用“同底等高”搬面积
$l_{1} ∥ l_{2}$ 得 $S_{△ A B E} = S_{△ D B E}$ （同底 $B E$ 、等高）； $l_{2} ∥ l_{3}$ 得 $S_{△ B C E} = S_{△ B E F}$ （同底 $B E$ 、等高）。
得到把“上面一组”与“下面一组”的面积对应起来
STEP 3
写面积比、约去高
$S_{△ A B E} = \frac{1}{2} A B \cdot d_{1}$ ， $S_{△ B C E} = \frac{1}{2} B C \cdot d_{2}$ ，两式相除后约去 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，得 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ 。
得到得到定理结论，也看清“为什么与平行线间距无关”

为什么这样添加辅助线

线段比本身没有现成工具可用。连出三角形之后，平行线保证“同底等高”，面积比就退化成底边比，这是面积法最典型的一次应用：把“比例”问题翻译成“面积相等 + 面积公式”，两条平行关系各管一组等积，一约就出结果。

添加辅助线后产生的新关系

$\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$
$\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F}$
$\frac{B C}{A C} = \frac{E F}{D F}$
三角形内的推论： $D E ∥ B C$ 时 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$
三角形内的逆用： $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ 时 $D E ∥ B C$
三条平行线等距时，截得的对应线段相等（可用来证中点）

能使用哪些定理和性质

平行线分线段成比例定理比例的性质：合比同底等高的三角形面积相等三角形面积公式平行线的性质（两直线平行，内错角相等）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标三条平行线

l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}

截两条直线得

A

、

B

、

C

与

D

、

E

、

F

，求证

\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}

。

1连接 $A E$ 、 $B D$ 、 $C E$ 、 $B F$
依据作图：把线段比转化为面积比
2 $S_{△ A B E} = S_{△ D B E}$
依据同底 $B E$ 、等高： $A$ 、 $D$ 都在 $l_{1}$ 上， $l_{1} ∥ l_{2}$
3 $S_{△ B C E} = S_{△ B E F}$
依据同底 $B E$ 、等高： $C$ 、 $F$ 都在 $l_{3}$ 上， $l_{3} ∥ l_{2}$
4 $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} A B \cdot d_{1}$ ， $S_{△ B C E} = \frac{1}{2} B C \cdot d_{2}$
依据三角形面积公式； $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 分别是 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 、 $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 之间的距离
5 $S_{△ D B E} = \frac{1}{2} D E \cdot d_{1}$ ， $S_{△ B E F} = \frac{1}{2} E F \cdot d_{2}$
依据同理：底 $D E$ 在 $l_{1}$ 上、底 $E F$ 在 $l_{3}$ 上，高都对应 $d_{1}$ 、 $d_{2}$
6 $\frac{S _{△ A B E}}{S _{△ B C E}} = \frac{S _{△ D B E}}{S _{△ B E F}}$
依据等量代换：两组面积分别相等
7 $\frac{A B \cdot d _{1}}{B C \cdot d _{2}} = \frac{D E \cdot d _{1}}{E F \cdot d _{2}}$
依据代入面积表达式
8 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$
依据两边约去 $\frac{1}{2}$ 、 $d_{1}$ 、 $d_{2}$

补充说明

由

\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}

用合比得

\frac{A B}{A B + B C} = \frac{D E}{D E + E F}

，即

\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F}

。注意“上比下”与“上比全”是两个不同的式子，代入数据前先想清楚要哪一种。

典型例题

题目如图，

l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}

，直线

A C

与

D F

分别被截出

A B = 3

、

B C = 5

、

D E = 4

。求

E F

与

D F

。已知：

A

、

D

在

l_{1}

上，

B

、

E

在

l_{2}

上，

C

、

F

在

l_{3}

上。

解答

1 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ ，即 $\frac{3}{5} = \frac{4}{E F}$
依据平行线分线段成比例
2 $E F = \frac{20}{3}$
依据解比例（交叉相乘）
3 $D F = D E + E F = 4 + \frac{20}{3} = \frac{24}{3} + \frac{20}{3} = \frac{32}{3}$
依据线段的和
4检验： $\frac{D E}{D F} = \frac{4}{32/3} = \frac{3}{8}$ ，而 $\frac{A B}{A C} = \frac{3}{8}$
依据合比式 $\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F}$ 回代验证

结论与点评

E F = \frac{20}{3}

，

D F = \frac{32}{3}

。若把比例写成

\frac{A B}{B C} = \frac{E F}{D E}

，会得到

E F = \frac{12}{5}

，虽然也是个“正常”的数，但对应位置写反了，这是本题最常见的错误。

常见变式

变式 1三角形内的 A 字推论

D E ∥ B C

时

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

，这就是 A 字模型的“上比下”版本。

变式 2逆用证平行

三角形内已知

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

，可证

D E ∥ B C

；一般位置的逆命题不成立，不能乱用。

变式 3三条平行线等距

若

l_{1}

、

l_{2}

、

l_{3}

两两等距，则

A B = B C

、

D E = E F

，可用来证中点或等分线段。

变式 4与 8 字结合

梯形中两条对角线相交，先用 8 字得交点分线段的比，再用本定理处理平行边之间的线段。

易错点

!比例式左右不对应： $\frac{A B}{B C} = \frac{E F}{D E}$ 是错的，应为 $\frac{D E}{E F}$ 。
!把“上比下”与“上比全”混用，如 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{D F}$ 。
!只有两条平行线时直接套三条平行线的结论（此时应改用 A 字或 8 字）。
!把“三角形内的逆用”推广到一般位置： $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ 一般不能反推三条直线平行。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连出四个三角形

用“同底等高”搬面积

写面积比、约去高

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

A 字模型（平行截相似）

8 字模型（对顶相似）

面积法与等积式（同高面积比）

三角形中位线模型