相似与比例八年级下

8 字模型（对顶相似）

又称：X 型相似、沙漏模型

两条直线相交于一点，再加一组平行线，就得到一对“8 字”形的相似三角形。它提供的是“交点分线段成比例”这一结论，是求线段比、证中点、算面积的常用工具。属于八、九年级衔接的拓展内容，八年级可以先用内错角与平行线分线段成比例理解，九年级再用相似正式书写。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

两条直线交一点，一组平行出内错；对顶角加上内错角，8 字相似跑不了。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1连出两条“对角线”，确定交点：连接

A C

与

B D

，记交点为

O

。若图中已有交点，就补标

O

与两组线段。→ 出现对顶角

∠ A O B = ∠ C O D

，把上下两条平行边“接”到一起

STEP 2标出内错角：由

A B ∥ C D

得

∠ O A B = ∠ O C D

（

Z

字形），同理

∠ O B A = ∠ O D C

。→ 凑齐两角相等，可用 AA 判定

△ A O B \sim △ C O D

STEP 3按顺序写比例：

\frac{A O}{C O} = \frac{B O}{D O} = \frac{A B}{C D}

；若要

\frac{A O}{A C}

，先用

A C = A O + C O

或直接用合比

\frac{A O}{A C} = \frac{A B}{A B + C D}

。→ 得到交点分两线段的比，可直接求长度

模型的基本定义

如图，

A B ∥ C D

，线段

A C

与

B D

交于点

O

，则

△ A O B \sim △ C O D

，对应关系为

A \leftrightarrow C

、

B \leftrightarrow D

、

O \leftrightarrow O

，于是

\frac{A O}{C O} = \frac{B O}{D O} = \frac{A B}{C D}

。因为两个三角形在交点处对顶、上下各一条平行边，形状像数字“8”，所以叫 8 字模型。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1两条线段 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ （ $O$ 在两条线段内部）
2 $A B ∥ C D$ （或已知 $∠ O A B = ∠ O C D$ 、 $∠ O B A = ∠ O D C$ ）
3对顶角 $∠ A O B = ∠ C O D$ 自动成立
4内错角 $∠ O A B = ∠ O C D$ 、 $∠ O B A = ∠ O D C$ 由平行得到
5题目要求 $A O : O C$ 、 $B O : O D$ 或 $A B : C D$
6常见于梯形、平行四边形、两条平行线之间的连线

常见触发关键词

8 字对顶角内错角两条平行线交点线段比沙漏

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连出两条“对角线”，确定交点
连接 $A C$ 与 $B D$ ，记交点为 $O$ 。若图中已有交点，就补标 $O$ 与两组线段。
得到出现对顶角 $∠ A O B = ∠ C O D$ ，把上下两条平行边“接”到一起
STEP 2
标出内错角
由 $A B ∥ C D$ 得 $∠ O A B = ∠ O C D$ （ $Z$ 字形），同理 $∠ O B A = ∠ O D C$ 。
得到凑齐两角相等，可用 AA 判定 $△ A O B \sim △ C O D$
STEP 3
按顺序写比例
$\frac{A O}{C O} = \frac{B O}{D O} = \frac{A B}{C D}$ ；若要 $\frac{A O}{A C}$ ，先用 $A C = A O + C O$ 或直接用合比 $\frac{A O}{A C} = \frac{A B}{A B + C D}$ 。
得到得到交点分两线段的比，可直接求长度

为什么这样添加辅助线

8 字模型的关键是“把两条平行线连起来”。

A C

、

B D

一画，交点处自动出现对顶角，平行线又给出内错角，两个角一齐，相似就成立。辅助线的目的不是“多画线”，而是把分散在上下两条平行线上的角集中到同一个交点。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A O B \sim △ C O D$
$\frac{A O}{C O} = \frac{B O}{D O} = \frac{A B}{C D}$
$\frac{A O}{A C} = \frac{A B}{A B + C D}$ （合比）
$\frac{S _{△ A O B}}{S _{△ C O D}} = (\frac{A B}{C D})^{2}$
若 $A B = C D$ ，则 $△ A O B ≅ △ C O D$ ， $O$ 是 $A C$ 、 $B D$ 的中点
若 $A O = C O$ ，则 $A B = C D$

能使用哪些定理和性质

相似三角形判定：两角分别相等的两个三角形相似两直线平行，内错角相等对顶角相等相似三角形性质：对应边成比例、面积比等于相似比平方比例的性质（合比）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B ∥ C D

，

A C

与

B D

交于

O

，求证

△ A O B \sim △ C O D

，且

\frac{A O}{C O} = \frac{B O}{D O} = \frac{A B}{C D}

。

1 $∠ A O B = ∠ C O D$
依据对顶角相等
2 $∠ O A B = ∠ O C D$
依据 $A B ∥ C D$ ，两直线平行，内错角相等
3 $△ A O B \sim △ C O D$
依据两角分别相等的两个三角形相似（ $A \leftrightarrow C$ 、 $B \leftrightarrow D$ 、 $O \leftrightarrow O$ ）
4 $∠ O B A = ∠ O D C$
依据相似三角形对应角相等（也可由内错角直接得到）
5 $\frac{A O}{C O} = \frac{B O}{D O} = \frac{A B}{C D}$
依据相似三角形对应边成比例
6 $\frac{A O}{A C} = \frac{A B}{A B + C D}$
依据合比性质： $A C = A O + C O$ ，由 $\frac{A O}{C O} = \frac{A B}{C D}$ 得 $\frac{A O}{A O + C O} = \frac{A B}{A B + C D}$
7若 $A B = C D$ ，则相似比为 $1$ ， $△ A O B ≅ △ C O D$ ， $A O = C O$ 、 $B O = D O$
依据相似比为 $1$ 的两个三角形全等

补充说明

8 字有两种摆放：

A B

在上、

C D

在下（本图），或左右并列。不管方向，认准“平行的一组边写在比例式的同一位置”，就不会把

\frac{A O}{C O}

写成

\frac{A O}{B O}

。

典型例题

题目如图，

A B ∥ C D

，

A C

与

B D

交于

O

，

A B = 6

，

C D = 9

，

A C = 10

，

B D = 12.5

。求

A O

、

O C

、

B O

、

O D

。已知：

A B ∥ C D

，

O

是

A C

与

B D

的交点。

解答

1 $△ A O B \sim △ C O D$ ， $\frac{A O}{O C} = \frac{A B}{C D} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
依据8 字模型（内错角 + 对顶角）
2 $A C = A O + O C = 10$ ，且 $A O : O C = 2 : 3$ ，得 $A O = 4$ ， $O C = 6$
依据按比例分配
3 $\frac{B O}{O D} = \frac{2}{3}$ ， $B D = B O + O D = 12.5$ ，得 $B O = 5$ ， $O D = 7.5$
依据同一相似比
4检验： $\frac{A O}{O C} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ， $\frac{B O}{O D} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}$
依据回代验证两组比一致

结论与点评

A O = 4

，

O C = 6

，

B O = 5

，

O D = 7.5

。若题目给的是

A O

与

A C

，要先算出

O C = A C - A O

再用比例，不能拿

A O

直接与

A B

比。

常见变式

变式 18 字 + 中点

A B = C D

时相似比为

1

，两个三角形全等，

O

同时是

A C

、

B D

的中点，可用来证“对角线互相平分”。

变式 2梯形对角线 8 字

梯形

A B C D

中

A D ∥ B C

，对角线交于

O

，则

△ A O D \sim △ C O B

，且

S_{△ A O B} = S_{△ C O D}

。

变式 38 字求面积比

\frac{S _{△ A O B}}{S _{△ C O D}} = (\frac{A B}{C D})^{2}

，常与“同高面积比”一起用。

变式 48 字与 A 字叠加

两条平行线之间画两条相交的截线，可同时得到 8 字与 A 字，注意两组比例式的对应边不同。

易错点

!对应顶点写错：应是 $△ A O B \sim △ C O D$ ，不是 $△ A O B \sim △ C D O$ 。
!把 $\frac{A O}{C O}$ 写成 $\frac{A O}{B O}$ ，两条线段不在同一条直线上。
!只有对顶角相等就判相似——还差一组内错角（即还差 $A B ∥ C D$ ）。
!求 $\frac{A O}{A C}$ 时忘记 $A C = A O + C O$ ，直接用 $\frac{A O}{O C}$ 当答案。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连出两条“对角线”，确定交点

标出内错角

按顺序写比例

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

A 字模型（平行截相似）

相似三角形判定与性质（相似基础）

平行线分线段成比例（比例基本定理）

面积法与等积式（同高面积比）