相似与比例九年级上

相似三角形判定与性质（相似基础）

又称：相似基本模型、相似三角形预备定理

两个三角形的对应角分别相等、对应边成比例，就说这两个三角形相似。相似把“形状”和“大小”分开：形状由角决定，大小由相似比

k

决定。它是相似一章的总纲，属于八、九年级衔接的拓展内容，八年级同学可以先记住“角相等、边成比例”这句话，等学完相似判定再回头补证明。

难度进阶考试权重 8 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

角对角写、边对边比；两角相等定相似，一个

k

管周长，

k^{2}

管面积。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1把两个三角形叠到一起：在

D E

上截取

D M = A B

，过

M

作

M N ∥ E F

交

D F

于

N

。这相当于把

△ A B C

挪进

∠ D

里，让

A B

与

D M

重合。→ 得到

△ D M N

，它与

△ A B C

全等，又与

△ D E F

共顶点

D

、共边

D F

STEP 2用全等搬动三条边：由

M N ∥ E F

得

∠ D M N = ∠ E = ∠ B

；又

∠ D = ∠ A

、

D M = A B

，用 ASA 得

△ D M N ≅ △ A B C

。→

M N = B C

、

D N = A C

，把

△ A B C

的三条边搬进了

△ D E F

STEP 3用平行线分线段成比例收尾：在

△ D E F

中

M N ∥ E F

，得

\frac{D M}{D E} = \frac{D N}{D F} = \frac{M N}{E F}

，再把

D M

、

D N

、

M N

换回

A B

、

A C

、

B C

。→ 得到

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F}

，对应边成比例证完

模型的基本定义

如图，在

△ A B C

与

△ D E F

中，若

∠ A = ∠ D

、

∠ B = ∠ E

、

∠ C = ∠ F

，且

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D} = k

，就说

△ A B C

相似于

△ D E F

，记作

△ A B C \sim △ D E F

。记号中字母的先后顺序就是对应关系：

A \leftrightarrow D

、

B \leftrightarrow E

、

C \leftrightarrow F

。

k

叫相似比；

k = 1

时两个三角形全等，所以全等是相似的特例，相似是全等的推广。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1两个三角形形状相同：三组对应角分别相等
2三组对应边成比例，且比的顺序与顶点顺序一致
3判定最常用的一条：两角分别相等的两个三角形相似（AA）
4或者三边成比例，或者两边成比例且夹角相等
5图中存在“平行于三角形一边的直线截其他两边”（预备定理）
6题目要求线段比、周长比、面积比，或要求证明两个三角形相似

常见触发关键词

对应角相等对应边成比例相似比平行截两边两角分别相等周长比面积比

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
把两个三角形叠到一起
在 $D E$ 上截取 $D M = A B$ ，过 $M$ 作 $M N ∥ E F$ 交 $D F$ 于 $N$ 。这相当于把 $△ A B C$ 挪进 $∠ D$ 里，让 $A B$ 与 $D M$ 重合。
得到得到 $△ D M N$ ，它与 $△ A B C$ 全等，又与 $△ D E F$ 共顶点 $D$ 、共边 $D F$
STEP 2
用全等搬动三条边
由 $M N ∥ E F$ 得 $∠ D M N = ∠ E = ∠ B$ ；又 $∠ D = ∠ A$ 、 $D M = A B$ ，用 ASA 得 $△ D M N ≅ △ A B C$ 。
得到 $M N = B C$ 、 $D N = A C$ ，把 $△ A B C$ 的三条边搬进了 $△ D E F$
STEP 3
用平行线分线段成比例收尾
在 $△ D E F$ 中 $M N ∥ E F$ ，得 $\frac{D M}{D E} = \frac{D N}{D F} = \frac{M N}{E F}$ ，再把 $D M$ 、 $D N$ 、 $M N$ 换回 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 。
得到得到 $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F}$ ，对应边成比例证完

为什么这样添加辅助线

相似的定义只讲了“形状相同”，不能直接量。把

△ A B C

搬进

△ D E F

、让一组对应边重合，问题就变成了“平行线截两边”：全等负责搬边，平行线负责出比例。这正是相似判定“预备定理”的证明思路，也是后面 A 字、8 字模型的共同来源。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B C \sim △ D E F$ ，且 $∠ A = ∠ D$ 、 $∠ B = ∠ E$ 、 $∠ C = ∠ F$
$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D} = k$
周长比 $\frac{A B + B C + C A}{D E + E F + F D} = k$
面积比 $\frac{S _{△ A B C}}{S _{△ D E F}} = k^{2}$
等比性质： $\frac{A B}{D E} = \frac{A B + B C + C A}{D E + E F + F D}$
$k = 1$ 时 $△ A B C ≅ △ D E F$ ，全等是相似的特例

能使用哪些定理和性质

相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例判定定理：两角分别相等；三边成比例；两边成比例且夹角相等预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

∠ A = ∠ D

、

∠ B = ∠ E

，求证

△ A B C \sim △ D E F

，且

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}

。

1在 $D E$ 上截取 $D M = A B$ ，过 $M$ 作 $M N ∥ E F$ 交 $D F$ 于 $N$
依据作图（把 $△ A B C$ 搬到 $△ D E F$ 里）
2 $∠ D M N = ∠ E$ ， $∠ D N M = ∠ F$
依据两直线平行，同位角相等
3 $△ D M N ≅ △ A B C$
依据ASA： $∠ D = ∠ A$ ， $D M = A B$ ， $∠ D M N = ∠ B$
4 $M N = B C$ ， $D N = A C$
依据全等三角形的对应边相等
5 $\frac{D M}{D E} = \frac{D N}{D F} = \frac{M N}{E F}$
依据平行线分线段成比例：在 $△ D E F$ 中 $M N ∥ E F$
6 $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F}$
依据等量代换：把 $D M$ 、 $D N$ 、 $M N$ 换成 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$
7 $\frac{S _{△ A B C}}{S _{△ D E F}} = \frac{\frac{1}{2} A B \cdot A C s i n A}{\frac{1}{2} D E \cdot D F s i n D} = \frac{A B}{D E} \cdot \frac{A C}{D F} = k^{2}$
依据两边夹角面积公式；其中 $sin A = sin D$
8周长比等于相似比 $k$
依据等比性质： $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D} = k$ 时，各边和之比仍为 $k$

补充说明

相似比是有顺序的：

△ A B C \sim △ D E F

的相似比是

\frac{A B}{D E}

，若写成

△ D E F \sim △ A B C

，相似比就变成

\frac{D E}{A B}

。这是衔接拓展内容，八年级可以先用“平行截两边”理解比例，九年级再系统学判定。

典型例题

题目已知

△ A B C \sim △ D E F

，

A B = 4

，

D E = 6

，

B C = 5

，

∠ A = 5 0^{\circ}

，

∠ B = 6 0^{\circ}

。求

E F

、

∠ F

、周长比与面积比。已知：

△ A B C \sim △ D E F

，对应关系为

A \leftrightarrow D

、

B \leftrightarrow E

、

C \leftrightarrow F

。

解答

1相似比 $k = \frac{A B}{D E} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
依据相似三角形的定义：对应边的比就是相似比
2 $\frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ ，所以 $E F = \frac{15}{2} = 7.5$
依据对应边成比例
3 $∠ D = ∠ A = 5 0^{\circ}$ ， $∠ E = ∠ B = 6 0^{\circ}$
依据相似三角形对应角相等
4 $∠ F = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$
依据三角形内角和
5周长比为 $2 : 3$ ，面积比为 $4 : 9$
依据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

结论与点评

E F = 7.5

，

∠ F = 7 0^{\circ}

，周长比

2 : 3

，面积比

4 : 9

。注意

E F

必须与

B C

对应，写成

\frac{B C}{E F}

而不是

\frac{B C}{D E}

。

常见变式

变式 1AA 判定

只给两组角相等就能判相似，是考场上最常用的一条；直角三角形中只要再有一组锐角相等即可。

变式 2SAS 相似

两边成比例且夹角相等，注意夹角必须是两组对应边的夹角，不能是 SSA。

变式 3三个三角形两两相似

如斜边上的高把直角三角形分成两个小三角形，三者两两相似，见“母子型与射影定理”。

变式 4相似与全等的转化

相似比为

1

时相似退化为全等；把

△ A B C

平移、旋转、翻折后仍与原三角形全等，也仍相似。

易错点

!对应顶点顺序写错： $△ A B C \sim △ D E F$ 对应 $A \leftrightarrow D$ ，不能随手写成 $△ A B C \sim △ E D F$ 。
!比例式左右不对应，如把 $\frac{A B}{D E}$ 写成 $\frac{A B}{E F}$ 。
!面积比误写成相似比：边长放大 $2$ 倍，面积放大 $4$ 倍。
!用 SSA（两边成比例、其中一边的对角相等）直接判相似，这是不成立的。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

把两个三角形叠到一起

用全等搬动三条边

用平行线分线段成比例收尾

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

A 字模型（平行截相似）

8 字模型（对顶相似）

母子型与射影定理（斜边上的高）

面积法与等积式（同高面积比）