等腰与等边八年级上

等腰三角形与全等三角形模型

又称：等腰 + 底边等距、对称型全等

等腰三角形底边上取到两端距离相等的两点，分别与顶角相连，得到一对全等三角形，两条连线相等，中间的小三角形也是等腰三角形。

难度进阶考试权重 8 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

等腰底边上，等距取两点；一连全等，两线相等。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1连接 AD、AE：把底边上的两个点分别与顶角相连。→ 得到

△ A B D

与

△ A C E

，它们有

A B = A C

、

∠ B = ∠ C

、

B D = C E

STEP 2用 SAS 证全等：

A B = A C

，

∠ B = ∠ C

（等边对等角），

B D = C E

，所以

△ A B D ≅ △ A C E

。→

A D = A E

，

∠ B A D = ∠ C A E

，

∠ A D B = ∠ A E C

STEP 3读出小三角形的性质：

A D = A E

⇒

△ A D E

是等腰三角形，

∠ A D E = ∠ A E D

；再用邻补角得

∠ A D C = ∠ A E B

。→ 中间小三角形等腰 + 外角关系

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

A B = A C

，

D

、

E

在

B C

上，且

B D = C E

。连接

A D

、

A E

，则

△ A B D ≅ △ A C E

（SAS：

A B = A C

，

∠ B = ∠ C

，

B D = C E

），所以

A D = A E

，

∠ B A D = ∠ C A E

，

∠ A D B = ∠ A E C

。于是

△ A D E

也是等腰三角形；再由邻补角得

∠ A D C = ∠ A E B

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1三角形是等腰三角形（ $A B = A C$ ）
2底边上有两个点 $D$ 、 $E$
3这两个点到同一端点的距离相等（ $B D = C E$ ，或 $B E = C D$ ）
4要证两条连线相等（ $A D = A E$ ）或两角相等
5要证中间的小三角形是等腰三角形

常见触发关键词

等腰三角形底边上取点BD=CESAS全等对称

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接 AD、AE
把底边上的两个点分别与顶角相连。
得到得到 $△ A B D$ 与 $△ A C E$ ，它们有 $A B = A C$ 、 $∠ B = ∠ C$ 、 $B D = C E$
STEP 2
用 SAS 证全等
$A B = A C$ ， $∠ B = ∠ C$ （等边对等角）， $B D = C E$ ，所以 $△ A B D ≅ △ A C E$ 。
得到 $A D = A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $∠ A D B = ∠ A E C$
STEP 3
读出小三角形的性质
$A D = A E$ ⇒ $△ A D E$ 是等腰三角形， $∠ A D E = ∠ A E D$ ；再用邻补角得 $∠ A D C = ∠ A E B$ 。
得到中间小三角形等腰 + 外角关系

为什么这样添加辅助线

等腰三角形关于顶角平分线对称，底边上“到两端等距”的两点 D、E 也关于这条对称轴对称。连接 AD、AE，相当于把对称的两对点连起来，两个三角形必然全等；全等又给出 AD=AE，说明三角形 ADE 也是等腰。辅助线的作用，是把底边上的“边相等”与顶角处的“角相等”接进同一对三角形，从而一次得到多组相等关系。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B D ≅ △ A C E$ （SAS）
$A D = A E$ ，即 $△ A D E$ 是等腰三角形
$∠ B A D = ∠ C A E$
$∠ A D B = ∠ A E C$ ，且 $∠ A D C = ∠ A E B$ （邻补角）
若 $D$ 、 $E$ 重合于 $B C$ 中点，则 $A D ⊥ B C$ （三线合一）
$D E = B C - 2 B D$ （当 $D$ 、 $E$ 在 $B$ 、 $C$ 之间）

能使用哪些定理和性质

等腰三角形的性质：等边对等角全等三角形判定 SAS等腰三角形的判定：等角对等边邻补角的定义等腰三角形三线合一

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B = A C

，

D

、

E

在

B C

上，

B D = C E

，求证

△ A B D ≅ △ A C E

，

A D = A E

。

1 $A B = A C$
依据已知
2 $∠ B = ∠ C$
依据等边对等角
3 $B D = C E$
依据已知
4 $△ A B D ≅ △ A C E$
依据SAS
5 $A D = A E$
依据全等三角形的对应边相等
6 $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $∠ A D B = ∠ A E C$
依据全等三角形的对应角相等
7 $△ A D E$ 是等腰三角形
依据 $A D = A E$
8 $∠ A D C = ∠ A E B$
依据邻补角： $∠ A D C = 18 0^{\circ} - ∠ A D B$ ， $∠ A E B = 18 0^{\circ} - ∠ A E C$

补充说明

条件

B D = C E

与

B E = C D

等价（都可由

B C

减去公共部分得到），但对应关系不同：

B D

对应

C E

，

B E

对应

C D

，连线时要看清。

典型例题

题目如图，

A B = A C

，

B C = 10

，

D

、

E

在

B C

上，

B D = C E = 3

。求

D E

，并判断

A D

与

A E

、

∠ B A D

与

∠ C A E

的关系。已知：

A B = A C

，

B C = 10

，

B D = C E = 3

。

解答

1 $D E = B C - B D - C E = 10 - 3 - 3 = 4$
依据线段差
2 $A B = A C$ ， $∠ B = ∠ C$
依据等腰三角形的性质
3 $△ A B D ≅ △ A C E$
依据SAS： $A B = A C$ ， $∠ B = ∠ C$ ， $B D = C E$
4 $A D = A E$
依据全等三角形的对应边相等
5 $∠ B A D = ∠ C A E$
依据全等三角形的对应角相等
6 $∠ A D E = ∠ A E D$
依据 $△ A D E$ 中 $A D = A E$ ，等边对等角

结论与点评

D E = 4

，

A D = A E

，

∠ B A D = ∠ C A E

，

△ A D E

是等腰三角形。

常见变式

变式 1反向证明

已知

A D = A E

（

D

、

E

在

B C

上），求证

B D = C E

：先得

∠ A D E = ∠ A E D

，再由邻补角得

∠ A D B = ∠ A E C

，用 AAS 证全等。

变式 2中点特例

当

D

、

E

重合于

B C

中点时，

A D ⊥ B C

，退化为三线合一。

变式 3与脚拉脚对照

两个等腰三角形共底边是“脚拉脚”；本题是一个等腰三角形底边上取两点，辅助线与结论都不同。

变式 4倒角应用

利用

∠ A D E = ∠ A E D

与

∠ B = ∠ C

，可求

∠ B A D

与

∠ C A E

之外的其他角，如

∠ D A E = 18 0^{\circ} - 2∠ A D E

。

易错点

!对应关系错： $B D$ 对应 $C E$ ，不是 $B D$ 对应 $B E$ 。
!用 SSA 证全等；本题是 $A B = A C$ 、 $∠ B = ∠ C$ 、 $B D = C E$ ，角在两边之间，属于 SAS。
!由 $A D = A E$ 直接说 $∠ B A D = ∠ C A E$ ，不写全等依据。
!忽略 $D$ 、 $E$ 是否在线段 $B C$ 内，导致 $D E$ 的表达式出错。

关联模型

等腰三角形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接 AD、AE

用 SAS 证全等

读出小三角形的性质

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

等腰三角形性质模型

等腰三角形判定模型

等腰三角形三线合一模型

角平分线与等腰三角形模型