角平分线等腰与等边八年级上

角平分线与等腰三角形模型

又称：角平分线 + 平行 + 等腰、知二推一

角平分线、平行线、等腰三角形三者中，知道任意两个就能推出第三个；在三角形里常表现为“角平分线 + 平行线 ⇒ 等腰”。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

平分、平行、等腰，知二推一。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1连出中位线 DE：取

A B

中点

E

、

B C

中点

D

，连接

D E

。由中位线定理，

D E ∥ A C

。→ 得到

∠ A D E = ∠ D A C

（内错角），把顶角的一半搬到

D

处

STEP 2等角代换得等腰：

∠ D A E = ∠ D A C

（角平分线），

∠ A D E = ∠ D A C

（内错角），所以

∠ A D E = ∠ D A E

。→

A E = D E

，

△ A E D

是等腰三角形，且

A E = D E = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A C

STEP 3反向使用：若已知

A E = D E

，则

∠ A D E = ∠ D A E

；又

∠ D A E = ∠ D A C

，所以

∠ A D E = ∠ D A C

，得

D E ∥ A C

。→ 得到“等腰 + 角平分 ⇒ 平行”的反向通道

模型的基本定义

如图，

A B = A C

，

A D

平分

∠ B A C

交

B C

于

D

，

E

是

A B

的中点，连接

D E

。因为

D

、

E

分别是

B C

、

A B

的中点，

D E

是中位线，所以

D E ∥ A C

；又

A D

平分

∠ A

，所以

∠ A D E = ∠ D A C = ∠ D A E

，得

A E = D E

。结合中位线

D E = \frac{1}{2} A C

与

A E = \frac{1}{2} A B

，由

A B = A C

也能得到

A E = D E

。这个模型的核心就是：角平分线、平行线、等腰三角形，任取两个作条件，第三个就是结论。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1有角平分线
2有平行线（常常是三角形中位线，或刻意作出的平行线）
3图中出现等腰三角形，或要证某个三角形是等腰
4角平分线与等腰三角形共用一个顶点
5出现“平分 + 平行”“平分 + 等腰”“平行 + 等腰”中的两组

常见触发关键词

角平分线等腰三角形平行线中位线知二推一等角对等边

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连出中位线 DE
取 $A B$ 中点 $E$ 、 $B C$ 中点 $D$ ，连接 $D E$ 。由中位线定理， $D E ∥ A C$ 。
得到得到 $∠ A D E = ∠ D A C$ （内错角），把顶角的一半搬到 $D$ 处
STEP 2
等角代换得等腰
$∠ D A E = ∠ D A C$ （角平分线）， $∠ A D E = ∠ D A C$ （内错角），所以 $∠ A D E = ∠ D A E$ 。
得到 $A E = D E$ ， $△ A E D$ 是等腰三角形，且 $A E = D E = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A C$
STEP 3
反向使用
若已知 $A E = D E$ ，则 $∠ A D E = ∠ D A E$ ；又 $∠ D A E = ∠ D A C$ ，所以 $∠ A D E = ∠ D A C$ ，得 $D E ∥ A C$ 。
得到得到“等腰 + 角平分 ⇒ 平行”的反向通道

为什么这样添加辅助线

中位线 DE 是一条“天然的平行线”：它把 AC 的方向搬到 D 处，于是顶角的一半 ∠DAC 被内错角搬到 ∠ADE 的位置，和 ∠DAE 撞在同一个三角形 AED 里，两个角相等就推出两条边相等。若没有这条平行线，角平分线只能提供“角相等”，无法变成“边相等”。所以这个模型的关键动作是“造平行、搬角”，而不是急着找全等。

添加辅助线后产生的新关系

$A E = D E$ ， $△ A E D$ 是等腰三角形
$D E ∥ A C$
$D E = \frac{1}{2} A C$ ， $A E = \frac{1}{2} A B$ （中位线）
$∠ A D E = ∠ D A E = ∠ D A C = \frac{1}{2} ∠ B A C$
$∠ A E D = 18 0^{\circ} - ∠ B A C$ （同旁内角互补）
若过 $D$ 作 $D F ∥ A B$ 交 $A C$ 于 $F$ ，同理 $A F = D F$ （角平分线 + 平行 ⇒ 等腰）

能使用哪些定理和性质

角平分线的定义三角形中位线定理：平行于第三边且等于第三边的一半两直线平行，内错角相等等腰三角形的判定：等角对等边等腰三角形的性质：等边对等角

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B = A C

，

A D

平分

∠ B A C

交

B C

于

D

，

E

为

A B

中点，求证

A E = D E

，并说明

D E ∥ A C

。

1 $D E ∥ A C$
依据 $E$ 、 $D$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，中位线定理
2 $∠ A D E = ∠ D A C$
依据 $D E ∥ A C$ ，两直线平行，内错角相等
3 $∠ D A E = ∠ D A C$
依据 $A D$ 平分 $∠ B A C$
4 $∠ A D E = ∠ D A E$
依据等量代换
5 $A E = D E$
依据等角对等边
6 $D E = \frac{1}{2} A C$ ， $A E = \frac{1}{2} A B$ ，故 $A E = D E$
依据中位线定理 + $A B = A C$ ，与上一步互为验证
7 $∠ A E D = 18 0^{\circ} - ∠ B A C$
依据 $D E ∥ A C$ ，两直线平行，同旁内角互补

补充说明

“角平分线、平行线、等腰”知二推一，但写证明时必须指明用的是哪两条，否则容易变成循环论证。

典型例题

题目如图，

A B = A C

，

A D

平分

∠ B A C

，

E

是

A B

的中点，

D E = 3

，

∠ B A C = 5 6^{\circ}

。求

A C

、

∠ A E D

与

∠ A D E

。已知：

A B = A C

，

A D

平分

∠ B A C

，

E

为

A B

中点，

D E = 3

，

∠ B A C = 5 6^{\circ}

。

解答

1 $D E = \frac{1}{2} A C$
依据 $D$ 、 $E$ 为中点，中位线定理
2 $A C = 2 D E = 6$
依据代入
3 $A B = A C = 6$
依据等腰三角形的两腰相等
4 $A E = \frac{1}{2} A B = 3 = D E$
依据中位线 + 等腰
5 $∠ A E D = 18 0^{\circ} - ∠ B A C = 12 4^{\circ}$
依据 $D E ∥ A C$ ，同旁内角互补
6 $∠ A D E = ∠ D A E = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 4 ^{\circ}}{2} = 2 8^{\circ}$
依据 $△ A E D$ 等腰，底角相等，且都等于 $\frac{1}{2} ∠ B A C$

结论与点评

A C = 6

，

∠ A E D = 12 4^{\circ}

，

∠ A D E = 2 8^{\circ}

。

常见变式

变式 1只给平分 + 平行

已知

A D

平分

∠ B A C

，

D E ∥ A C

，求证

A E = D E

：这是最基本的一步，只用内错角与等角对等边。

变式 2只给平分 + 等腰

已知

A D

平分

∠ B A C

，

A E = D E

，求证

D E ∥ A C

：用等边对等角，把

∠ A D E

换成

∠ D A E

，再换成

∠ D A C

。

变式 3只给平行 + 等腰

已知

D E ∥ A C

，

A E = D E

，求证

A D

平分

∠ B A C

：两条角相等都指向

∠ D A C

。

变式 4与两线模型对照

“角平分线 + 平行”的另一种常见图形是过平分线上一点作一边的平行线，得到

O C = P C

；两者本质相同，只是一个在角内、一个在三角形内。

易错点

!把角平分线、平行、等腰三个条件全部当成已知，造成循环论证。
!平行线找错： $D E ∥ A C$ 的内错角是 $∠ A D E$ 与 $∠ D A C$ ，不是 $∠ A D E$ 与 $∠ D A E$ 。
!忽略中位线的“一半”关系，直接写 $D E = A C$ 。
!等腰三角形顶点认错： $A B = A C$ 时顶角是 $∠ A$ ，底角是 $∠ B$ 、 $∠ C$ 。

关联模型

角平分线

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连出中位线 DE

等角代换得等腰

反向使用

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

角平分线与平行线模型

等腰三角形三线合一模型

等腰三角形性质模型

等腰三角形判定模型