角平分线八年级上

角平分线与平行线模型

又称：角平分线 + 平行线、知二推一模型

过角平分线上一点作角的一边的平行线，与另一边相交，得到一个等腰三角形；角平分线、平行线、等腰三角形三者知二推一。

难度进阶考试权重 6 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

角平分线遇平行，等腰三角形现身。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1过 P 作一边的平行线：过

P

作

P C ∥ O A

，交

O B

于

C

。用尺规作平行线（同位角相等），标出

C

。→ 得到

△ O P C

，并把平行条件转化为

∠ O P C = ∠ A O P

STEP 2等角代换证等腰：

∠ A O P = ∠ P O B

（角平分线），

∠ O P C = ∠ A O P

（内错角），所以

∠ O P C = ∠ P O C

。→

O C = P C

，

△ O P C

是等腰三角形；同时

∠ O C P = 18 0^{\circ} - 2∠ P O C

STEP 3反向使用结论：若已知

O C = P C

，则

∠ P O C = ∠ O P C

，又

∠ A O P = ∠ P O C

，得

∠ A O P = ∠ O P C

，所以

P C ∥ O A

（内错角相等，两直线平行）。→ 得到“角平分线 + 等腰 ⇒ 平行”这条反向通道

模型的基本定义

如图，

O P

平分

∠ A O B

，点

P

在

O P

上，过

P

作

P C ∥ O A

，交

O B

于

C

，则

O C = P C

，

△ O P C

是等腰三角形。理由：

P C ∥ O A

使

∠ O P C = ∠ A O P

（内错角），而

∠ A O P = ∠ P O B

，所以

∠ O P C = ∠ P O C

，等角对等边。反过来，若

O C = P C

，则

∠ P O C = ∠ O P C = ∠ A O P

，于是

P C ∥ O A

。三个条件“角平分线、平行线、等腰”中任取两个，都能推出第三个。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1有角平分线（或要证角平分线）
2过角平分线上一点作角的一边的平行线，与另一边相交
3要证两条线段相等，或要证三角形是等腰三角形
4图中同时给出“角平分线”和“平行线”两个条件
5需要把顶点处的角搬到另一个位置（倒角）

常见触发关键词

角平分线平行线等腰三角形内错角等角对等边知二推一

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
过 P 作一边的平行线
过 $P$ 作 $P C ∥ O A$ ，交 $O B$ 于 $C$ 。用尺规作平行线（同位角相等），标出 $C$ 。
得到得到 $△ O P C$ ，并把平行条件转化为 $∠ O P C = ∠ A O P$
STEP 2
等角代换证等腰
$∠ A O P = ∠ P O B$ （角平分线）， $∠ O P C = ∠ A O P$ （内错角），所以 $∠ O P C = ∠ P O C$ 。
得到 $O C = P C$ ， $△ O P C$ 是等腰三角形；同时 $∠ O C P = 18 0^{\circ} - 2∠ P O C$
STEP 3
反向使用结论
若已知 $O C = P C$ ，则 $∠ P O C = ∠ O P C$ ，又 $∠ A O P = ∠ P O C$ ，得 $∠ A O P = ∠ O P C$ ，所以 $P C ∥ O A$ （内错角相等，两直线平行）。
得到得到“角平分线 + 等腰 ⇒ 平行”这条反向通道

为什么这样添加辅助线

题目给的平行线本身不产生线段相等，它产生的是“角相等”；角平分线给的也是“角相等”。这两条角相等的线索在三角形 OPC 里相遇：一个来自角平分线（∠AOP=∠POC），一个来自平行线（∠AOP=∠OPC），代换后同一个三角形出现两个相等的角，于是等角对等边。辅助线（平行线）的真正作用是“搬运角”——把顶点处的角原样搬到 P 处。

添加辅助线后产生的新关系

$O C = P C$ ， $△ O P C$ 是等腰三角形
$∠ O P C = ∠ P O C = ∠ A O P$
$∠ O C P = 18 0^{\circ} - 2 α$ ，其中 $α = \frac{1}{2} ∠ A O B$
若改作 $P D ∥ O B$ 交 $O A$ 于 $D$ ，同理 $O D = P D$
当 $∠ A O B = 12 0^{\circ}$ 时， $△ O P C$ 是等边三角形
若同时作两边的平行线，则四边形 $O D P C$ 是菱形

能使用哪些定理和性质

角平分线的定义两直线平行，内错角相等等腰三角形的判定：等角对等边三角形内角和定理平行线的判定：内错角相等，两直线平行

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

O P

平分

∠ A O B

，

P C ∥ O A

交

O B

于

C

，求证

O C = P C

。

1 $∠ A O P = ∠ P O B$
依据 $O P$ 平分 $∠ A O B$
2 $∠ O P C = ∠ A O P$
依据 $P C ∥ O A$ ，两直线平行，内错角相等
3 $∠ O P C = ∠ P O C$
依据等量代换（ $∠ P O C$ 就是 $∠ P O B$ ）
4 $O C = P C$
依据等角对等边
5 $∠ O C P = 18 0^{\circ} - 2∠ P O C$
依据三角形内角和
6反之，若 $O C = P C$ ，则 $∠ P O C = ∠ O P C$ ；结合 $∠ A O P = ∠ P O C$ 得 $∠ A O P = ∠ O P C$ ，故 $P C ∥ O A$
依据等边对等角 + 内错角相等，两直线平行

补充说明

三个条件中任取两个都能推出第三个，但证明时必须写清用的是哪两个；不能用等腰去证平行，又用平行去证等腰，形成循环论证。

典型例题

题目如图，

O P

平分

∠ A O B

，

∠ A O B = 7 0^{\circ}

，

P C ∥ O A

交

O B

于

C

。求

△ O P C

的三个内角，并说明

O C = P C

。已知：

O P

平分

∠ A O B

，

∠ A O B = 7 0^{\circ}

，

P C ∥ O A

。

解答

1 $∠ P O C = \frac{1}{2} \times 7 0^{\circ} = 3 5^{\circ}$
依据角平分线
2 $∠ O P C = ∠ A O P = 3 5^{\circ}$
依据 $P C ∥ O A$ ，内错角相等
3 $∠ O C P = 18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} - 3 5^{\circ} = 11 0^{\circ}$
依据三角形内角和
4 $O C = P C$
依据等角对等边

结论与点评

∠ P O C = ∠ O P C = 3 5^{\circ}

，

∠ O C P = 11 0^{\circ}

，

O C = P C

。看到

11 0^{\circ}

也可以用“两直线平行，同旁内角互补”核对：

∠ O C P + ∠ A O C = 11 0^{\circ} + 7 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

。

常见变式

变式 1反向证明平行

已知

O C = P C

，求证

P C ∥ O A

：用等边对等角 + 角平分线，把

∠ A O P

与

∠ O P C

联系起来。

变式 2两边都作平行线

过

P

分别作

O A

、

O B

的平行线交另一边于

D

、

C

，则

O D = P D

、

O C = P C

，四边形

O D P C

是菱形，

O P ⊥ D C

。

变式 3接三线合一

等腰

△ O P C

中取

O C

中点

M

，连接

P M

，由三线合一得

P M ⊥ O C

且

P M

平分

∠ O P C

。

变式 4特殊角变式

当

∠ A O B = 12 0^{\circ}

时，

△ O P C

的三个角都是

6 0^{\circ}

，是等边三角形。

易错点

!内错角找错：与 $∠ O P C$ 对应的内错角是 $∠ A O P$ ，依据要写对。
!直接写“角平分线 + 平行 ⇒ 等腰”却不写内错角与等角对等边的过程。
!循环论证：先用平行证等腰，再用等腰证平行。
!平行线方向作反（作 $P C ∥ O B$ 却交 $O A$ 于 $C$ ），结论形式随之改变。

关联模型

角平分线

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

过 P 作一边的平行线

等角代换证等腰

反向使用结论

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

角平分线基本性质模型

角平分线与等腰三角形模型

等腰三角形判定模型

等腰三角形三线合一模型