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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步
STEP 1过 D 向两边各作一条垂线：过 作 于 ， 于 ，标出直角。两条垂线都要作，只作一条凑不出全等。→ 得到 与 ，它们有公共斜边
STEP 2用 AAS 证全等：，（ 平分 ）， 公共，所以 。→ 、、
STEP 3必要时把垂线当高用：、 分别是 、 的高，于是 。→ 把线段相等转化为面积比，或反过来用面积比求线段
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模型的基本定义
如图， 平分 ， 在 上；过 作 于 ， 于 ，则 ，，，。它与“基本性质”是同一个结论的两种用法：基本性质强调“距离相等”，垂线模型强调“用两条垂线构造全等”，因此还能顺带得到 和角相等。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1有角平分线 ，且角平分线上取了一点
- 2需要证明两条垂线段相等，或需要一对全等直角三角形
- 3已知点到角一边的距离，要求到另一边的距离
- 4图中已经有一条垂线，提示补作第二条
- 5需要把“角相等”转化为“边相等”或“面积比”
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常见触发关键词
角平分线作垂线两个垂足垂直两段相等全等直角三角形
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1过 作 于 ， 于 ，标出直角。两条垂线都要作，只作一条凑不出全等。
过 D 向两边各作一条垂线
得到得到 与 ，它们有公共斜边 - STEP 2，（ 平分 ）， 公共，所以 。
用 AAS 证全等
得到、、 - STEP 3、 分别是 、 的高，于是 。
必要时把垂线当高用
得到把线段相等转化为面积比，或反过来用面积比求线段
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为什么这样添加辅助线
角平分线给的是“角相等”，题目要证的却是“线段相等”，中间必须有一座桥。作两条垂线后，两个直角三角形共用斜边 AD，角相等、直角、公共边三个条件一次凑齐，AAS 立刻成立，于是 DE=DF 是“对应边”，AE=AF 也是“对应边”。如果只作一条垂线，就只有一个直角三角形，找不到对应关系。两条垂线的作用，是把角平分线隐含的对称性翻译成看得见的线段相等。
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添加辅助线后产生的新关系
- （AAS）
- （两条垂线段相等）
- （两个垂足到顶点距离相等）
- ，即 平分
- 四边形 中，（两个直角占了 ）
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能使用哪些定理和性质
角平分线的性质全等三角形判定 AAS 与 HL三角形面积公式（同高面积比等于底之比）直角三角形的两个锐角互余
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标已知 平分 ， 于 ， 于 ，求证 且 。
- 1依据 平分
- 2依据，
- 3依据公共边
- 4依据AAS
- 5依据全等三角形的对应边相等
- 6，依据全等三角形的对应边、对应角相等
补充说明
若题目还给出 ，则可用 HL 证 ，得 ；但仅有 时不能直接得到 ，还缺 。12
典型例题
题目如图， 平分 ， 于 ， 于 ，，，。求 、 与 。已知： 平分 ，，，，，。
解答
- 1依据角平分线上的点到角两边距离相等（或双垂线全等）
- 2依据 是 边上的高
- 3依据 是 边上的高
- 4依据面积相加
- 5依据同高面积比等于底之比
结论与点评，，。本题说明：双垂线不仅能证线段相等，还能把两条垂线当高直接算面积。
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常见变式
变式 1补垂线型
题目只画了一条垂线，要求证 ：补出另一条垂线，再用 AAS；这是最基础的考法。变式 2双垂线 + 中点
再给 ，则 （HL），得 ，可用于证线段差或等腰。变式 3面积法求线段
用 把两个三角形的面积比转成 ，已知面积和可反求 。变式 4外角平分线
角平分线在三角形外部（外角平分线）时，向两边作垂线仍然全等，但垂足可能落在边的延长线上，要按图讨论。14
易错点
- !只作一条垂线就想证两条垂线段相等，缺少第二组对应元素。
- !默认垂足一定在线段上：钝角三角形中垂足可能落在边的延长线上。
- !两个直角三角形全等写成 SSA；应写 AAS 或 HL。
- !忘记 DE、DF 可以当高用，遇到面积题不敢下手。
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