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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步
STEP 1在长边上截取 AE=AC：以 为圆心、 为半径画弧，交 于 （需要 ）。→ 造出 ，把短边搬到长边上
STEP 2连接 DE：连接 与 ，得到 与 。→ 两个三角形具备 、、 公共，可用 SAS
STEP 3证全等并转化结论：SAS 得 、；于是 ，把 变成 、把 变成 。→ 所有条件集中到 ，可用内角和、等腰或三边关系
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模型的基本定义
如图， 平分 ，。在 上取 ，使 ，连接 ，则 （SAS：，， 公共），于是 ，，。因为 、、 共线，；在 中用内角和或等角对等边，就能处理“”这类结论。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1有角平分线
- 2已知两条边不等，需要处理它们的和或差
- 3要证线段相等或角相等，但相等元素分散在两个三角形里
- 4出现“”“”等结论
- 5长边上可以截出与短边相等的线段（）
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常见触发关键词
角平分线截长补短两边和差SAS全等线段转移
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1以 为圆心、 为半径画弧，交 于 （需要 ）。
在长边上截取 AE=AC
得到造出 ，把短边搬到长边上 - STEP 2连接 与 ，得到 与 。
连接 DE
得到两个三角形具备 、、 公共，可用 SAS - STEP 3SAS 得 、；于是 ，把 变成 、把 变成 。
证全等并转化结论
得到所有条件集中到 ，可用内角和、等腰或三边关系
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为什么这样添加辅助线
角平分线把 ∠A 分成两半，但相等的两边 AC 与 AB 却错位在角的两侧。在 AB 上截 AE=AC，相当于把 AC “搬”到 AB 上，让两个三角形共用角平分线 AD 作公共边，SAS 立刻成立。这样 CD 被搬到 DE 的位置，AB−AC 变成 BE，原本分散的“两边一差”就集中到一个三角形 BDE 里，倒角和等腰就有了用武之地。
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添加辅助线后产生的新关系
- （SAS）
- ，
- （、、 共线）
- （因为 ）
- ，若 ，则 ，从而
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能使用哪些定理和性质
角平分线的定义全等三角形判定 SAS三角形内角和定理等腰三角形的判定：等角对等边邻补角的定义
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标已知 平分 ， 在 上且 ，求证 、，并说明 。
- 1依据 平分 ，且 在 上
- 2依据作图（截取）
- 3依据公共边
- 4依据SAS
- 5，，依据全等三角形的对应边、对应角相等
- 6依据、、 共线，线段差
- 7依据邻补角
补充说明
条件是 ，否则在 上截不出 ；若 ，应改在 上截取，或者改用“补短”（延长短边）。12
典型例题
题目如图，在 中，，，， 平分 交 于 。求 。已知：，，， 平分 。
解答
- 1在 上取 使 ，连接依据辅助线（截长）
- 2，故 ，依据SAS + 全等对应角
- 3依据线段差
- 4依据邻补角
- 5依据三角形内角和
- 6依据等角对等边
- 7依据等量代换
结论与点评，于是 。这条结论在“”的题中出现频率很高，可以作为模型直接调用。
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常见变式
变式 1补短型
延长 到 使 ，连接 ，则 ，，，再由 推结论。变式 2求角
由 可得 ，这是本题模型顺带得到的倒角公式。变式 3周长转化
的周长 ，可用于求三角形周长。变式 4与翻折对照
翻折是“把角搬过去”，截长是“把边搬过去”，两者本质相同；翻折得到 ，截长得到 。14
易错点
- !截取位置错：应截长边（）， 时要换边或改用补短。
- !用 SSA 证全等；这里必须用 SAS，夹角是 与 。
- !把 写成 （这是邻补角，不是对顶角）。
- !由 直接说“”，中间缺 的推导。
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