角平分线八年级上

角平分线翻折模型

又称：角平分线对称翻折、翻折造全等

把角的一边沿角平分线翻折到另一边，得到一个与原来全等的三角形，从而把分散的边、角搬到同一条直线上。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

沿平分线一翻，短边贴到长边上。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1作 C 关于 AD 的对称点 C′：过

C

作

A D

的垂线，垂足为

M

，延长

C M

至

C^{'}

，使

M C^{'} = M C

。因为

A D

平分

∠ B A C

，

C^{'}

一定落在射线

A B

上。→ 得到

C^{'}

在

A B

上，且

△ A C^{'} D ≅ △ A C D

STEP 2连接 AC′、C′D：补出翻折后的三角形，标出

A C^{'} = A C

、

C^{'} D = C D

。→

A C^{'} = A C

，

C^{'} D = C D

，

∠ A C^{'} D = ∠ C

STEP 3把结论搬到同一条直线上：因为

A

、

C^{'}

、

B

共线，

B C^{'} = A B - A C^{'} = A B - A C

；再利用

△ B C^{'} D

的边角关系（如

C^{'} D = C D

）转化。→ 把“两边之差”变成一条线段

B C^{'}

，便于用三角形内角和或三边关系

模型的基本定义

如图，

A D

平分

∠ B A C

，

D

在

B C

上。将

△ A C D

沿

A D

翻折，因为

A D

是

∠ B A C

的对称轴，射线

A C

与射线

A B

重合，所以

C

的对应点

C^{'}

落在射线

A B

上，且

△ A C^{'} D ≅ △ A C D

。于是

A C^{'} = A C

，

C^{'} D = C D

，

∠ A C^{'} D = ∠ A C D = ∠ C

，

∠ A D C^{'} = ∠ A D C

。若

C^{'}

落在线段

A B

上，还有

B C^{'} = A B - A C

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1有角平分线 $A D$ ，且 $D$ 落在角的对边 $B C$ 上
2角的一边较短、另一边较长，翻折后短边能落在长边上（即 $A C < A B$ ）
3要证两条线段相等，或要把 $A C$ 转移到 $A B$ 上
4要构造与 $△ A C D$ 全等的三角形
5题目出现“翻折”“折叠”“对称”等字眼

常见触发关键词

角平分线翻折对称对应点线段转移全等

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作 C 关于 AD 的对称点 C′
过 $C$ 作 $A D$ 的垂线，垂足为 $M$ ，延长 $C M$ 至 $C^{'}$ ，使 $M C^{'} = M C$ 。因为 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $C^{'}$ 一定落在射线 $A B$ 上。
得到得到 $C^{'}$ 在 $A B$ 上，且 $△ A C^{'} D ≅ △ A C D$
STEP 2
连接 AC′、C′D
补出翻折后的三角形，标出 $A C^{'} = A C$ 、 $C^{'} D = C D$ 。
得到 $A C^{'} = A C$ ， $C^{'} D = C D$ ， $∠ A C^{'} D = ∠ C$
STEP 3
把结论搬到同一条直线上
因为 $A$ 、 $C^{'}$ 、 $B$ 共线， $B C^{'} = A B - A C^{'} = A B - A C$ ；再利用 $△ B C^{'} D$ 的边角关系（如 $C^{'} D = C D$ ）转化。
得到把“两边之差”变成一条线段 $B C^{'}$ ，便于用三角形内角和或三边关系

为什么这样添加辅助线

角平分线天然是角的对称轴，翻折是“把对称性用足”的最直接方式。题里若出现 AB>AC，又要在 AB 上找一段等于 AC，翻折正好把 AC 搬到 AB 上的 AC′ 处，剩下的 C′B 就是 AB−AC。比起单纯的截取，翻折还能同时搬动角（∠AC′D=∠C）和边（C′D=CD），信息量更大；这也是它常被用来证明“AB=AC+CD”的原因。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A C^{'} D ≅ △ A C D$
$A C^{'} = A C$ ， $C^{'} D = C D$
$∠ A C^{'} D = ∠ C$ ， $∠ A D C^{'} = ∠ A D C$
$A$ 、 $C^{'}$ 、 $B$ 共线， $B C^{'} = A B - A C$ （当 $C^{'}$ 在线段 $A B$ 上）
$A D$ 垂直平分 $C C^{'}$
若 $∠ C = 9 0^{\circ}$ ，则 $∠ A C^{'} D = 9 0^{\circ}$ ，即 $C^{'} D ⊥ A B$

能使用哪些定理和性质

角平分线的定义（角平分线是角两边的对称轴）轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段、对应角相等全等三角形判定 SAS全等三角形对应边、对应角相等

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A D

平分

∠ B A C

，

C^{'}

是

C

关于

A D

的对称点且落在

A B

上，求证

△ A C^{'} D ≅ △ A C D

，并写出相等的线段与角。

1 $∠ C A D = ∠ D A C^{'}$
依据 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $C^{'}$ 在射线 $A B$ 上
2 $A C^{'} = A C$
依据轴对称的对应线段相等（或由作图）
3 $A D = A D$
依据公共边
4 $△ A C^{'} D ≅ △ A C D$
依据SAS
5 $C^{'} D = C D$ ， $∠ A C^{'} D = ∠ C$ ， $∠ A D C^{'} = ∠ A D C$
依据全等三角形的对应边、对应角相等
6 $B C^{'} = A B - A C^{'} = A B - A C$
依据 $A$ 、 $C^{'}$ 、 $B$ 共线，线段差
7 $A D$ 垂直平分 $C C^{'}$
依据轴对称的性质

补充说明

翻折后

C^{'}

一定在射线

A B

上，但不一定落在线段

A B

内：只有

A C < A B

时才在线段上，否则在

A B

的延长线上，此时

B C^{'} = A C - A B

。答题时要说明位置。

典型例题

题目如图，在

△ A B C

中，

∠ C = 9 0^{\circ}

，

A C = 6

，

A B = 10

，

A D

平分

∠ B A C

交

B C

于

D

，

C^{'}

是

C

关于

A D

的对称点。求

C D

、

B C^{'}

、

C^{'} D

。已知：

∠ C = 9 0^{\circ}

，

A C = 6

，

A B = 10

，

A D

平分

∠ B A C

。

解答

1 $B C = A B^{2} - A C^{2} = 100 - 36 = 8$
依据勾股定理
2 $C^{'}$ 在 $A B$ 上， $∠ A C^{'} D = ∠ C = 9 0^{\circ}$
依据翻折（轴对称）保持角相等
3 $C^{'} D = C D$ ， $B C^{'} = A B - A C = 4$
依据全等三角形的对应边相等 + 线段差
4 $S_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C^{'} D = 5 C D$
依据 $C^{'} D ⊥ A B$ ，是 $A B$ 边上的高
5 $S_{△ A C D} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C D = 3 C D$
依据 $C D ⊥ A C$ ，是 $A C$ 边上的高
6 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$
依据面积公式
7 $5 C D + 3 C D = 24$ ，得 $C D = 3$
依据面积分割： $S_{△ A B D} + S_{△ A C D} = S_{△ A B C}$

结论与点评

C D = C^{'} D = 3

，

B C^{'} = 4

。此时

△ B C^{'} D

的两条直角边为

4

、

3

，斜边

B D = 5

，与

△ A B C

的

6

、

8

、

10

成比例。

常见变式

变式 1翻折证线段和

若

∠ C = 2∠ B

，由

∠ A C^{'} D = 2∠ B

推出

∠ B = ∠ B D C^{'}

，得

B C^{'} = C^{'} D = C D

，从而

A B = A C + C D

。

变式 2翻折求面积

利用

∠ A C^{'} D = ∠ C = 9 0^{\circ}

得

C^{'} D ⊥ A B

，把

C^{'} D

当作

△ A B D

的高，用面积分割求线段。

变式 3翻折 + 等腰

若

A B = A C

，则

C^{'}

与

B

重合，翻折退化为三线合一，此时

B C^{'} = 0

。

变式 4两次翻折

当题中有两条角平分线时，可以分别翻折，把两条边都搬到同一条直线上，处理三条线段的和差。

易错点

!不说明 $C^{'}$ 的位置（在线段 $A B$ 上还是在延长线上），导致 $B C^{'}$ 写成 $A B + A C$ 。
!把翻折直接当全等使用，不交代对称轴是角平分线。
!对应点找错： $C$ 的对应点是 $A B$ 上的 $C^{'}$ ，不是 $D$ 。
!忽略翻折保持角相等，不会用 $∠ A C^{'} D = ∠ C$ 继续倒角。

关联模型

角平分线

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作 C 关于 AD 的对称点 C′

连接 AC′、C′D

把结论搬到同一条直线上

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

角平分线垂线模型

角平分线截等长线段模型

角平分线与全等三角形模型

基础轴对称模型