轴对称与路径八年级上

基础轴对称模型

又称：垂直平分线模型、对称点模型

轴对称的两个点，其连线被对称轴垂直平分；反过来，到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

难度入门考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

对称轴，垂直平分对应点；连线被轴切成两半。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接对应点 AA′，交 l 于 H：连接

A

与

A^{'}

，与对称轴

l

交于点

H

。图中

A H = H A^{'}

，

H

处的直角符号表示

A A^{'} ⊥ l

。→ 得到“

l

垂直平分

A A^{'}

”，这是所有轴对称性质的来源

STEP 2标出直角与等长标记，读出垂直平分：把图中的直角符号与等长标记翻译成两句话：

l ⊥ A A^{'}

（垂直），

A H = H A^{'}

（平分）。于是

l

是

A A^{'}

的垂直平分线，

l

上任意一点到

A

、

A^{'}

的距离都相等。→ 得到

P A = P A^{'}

，把“对称”转化为“距离相等”，这是最短路径模型的核心工具

模型的基本定义

如图，

A

与

A^{'}

关于直线

l

对称，

A A^{'}

交

l

于点

H

，则

l ⊥ A A^{'}

且

A H = H A^{'}

，即

l

是线段

A A^{'}

的垂直平分线。由此，对

l

上任意一点

P

，都有

P A = P A^{'}

，且

l

平分

∠ A P A^{'}

。垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到两端距离相等的点也一定在这条线段的垂直平分线上。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1图形中出现对称轴、折痕，或“沿某条直线翻折”的语句
2已知一点关于某条直线的对称点
3要证两条线段相等或两个角相等
4出现“到线段两端距离相等的点”
5需要在直线上找一点，使它到两个定点的距离相等

常见触发关键词

对称轴对称点垂直平分翻折折痕PA = PA′到两端距离相等

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接对应点 AA′，交 l 于 H
连接 $A$ 与 $A^{'}$ ，与对称轴 $l$ 交于点 $H$ 。图中 $A H = H A^{'}$ ， $H$ 处的直角符号表示 $A A^{'} ⊥ l$ 。
得到得到“ $l$ 垂直平分 $A A^{'}$ ”，这是所有轴对称性质的来源
STEP 2
标出直角与等长标记，读出垂直平分
把图中的直角符号与等长标记翻译成两句话： $l ⊥ A A^{'}$ （垂直）， $A H = H A^{'}$ （平分）。于是 $l$ 是 $A A^{'}$ 的垂直平分线， $l$ 上任意一点到 $A$ 、 $A^{'}$ 的距离都相等。
得到得到 $P A = P A^{'}$ ，把“对称”转化为“距离相等”，这是最短路径模型的核心工具

为什么这样添加辅助线

轴对称的定义只说“沿 l 翻折后两点重合”，这句话本身不能直接算长度。连接 AA′ 后，翻折把 ∠AHl 折到 ∠A′Hl 上，两个角相等又互补，所以都是 90°；AH 折到 A′H 上，所以 AH = HA′。“垂直”与“平分”这两条信息一旦写出来，任何一道与对称有关的题都能落到全等三角形上：以 H 为公共顶点、PH 为公共边，两对直角相等，SAS 立刻给出 PA = PA′。辅助线的价值，就在于把“翻折”这个动作翻译成“垂直 + 中点 + 全等”。

添加辅助线后产生的新关系

$l ⊥ A A^{'}$ ， $A H = H A^{'}$ ，即 $l$ 垂直平分 $A A^{'}$
对 $l$ 上任意点 $P$ ， $P A = P A^{'}$ ，且 $l$ 平分 $∠ A P A^{'}$
$△ P A H ≅ △ P A^{'} H$ （SAS）
若 $A$ 、 $A^{'}$ 关于 $l$ 对称，则 $A A^{'}$ 的中点 $H$ 在 $l$ 上
垂直平分线的判定：若 $P A = P A^{'}$ ，则 $P$ 在 $A A^{'}$ 的垂直平分线上
$P A + P B = P A^{'} + P B \geq A^{'} B$ （由此引出将军饮马）

能使用哪些定理和性质

轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点连线线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上全等三角形判定：SAS

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A

、

A^{'}

关于直线

l

对称，

A A^{'}

交

l

于

H

。求证

l ⊥ A A^{'}

、

A H = H A^{'}

，且

l

上任意点

P

满足

P A = P A^{'}

。

1沿 $l$ 翻折后 $A$ 与 $A^{'}$ 重合
依据轴对称的定义
2 $H$ 在 $l$ 上，翻折后 $H$ 与自身重合，射线 $H A$ 与射线 $H A^{'}$ 重合
依据翻折时对称轴上的点不动
3 $∠ A H l = ∠ A^{'} H l$ ，又 $∠ A H l + ∠ A^{'} H l = 18 0^{\circ}$
依据翻折后两角重合； $A$ 、 $H$ 、 $A^{'}$ 共线
4 $∠ A H l = ∠ A^{'} H l = 9 0^{\circ}$ ，即 $l ⊥ A A^{'}$
依据等量代换与垂直的定义
5 $A H = H A^{'}$
依据翻折保持长度不变
6取 $l$ 上一点 $P$ ： $P H = P H$ ， $∠ P H A = ∠ P H A^{'} = 9 0^{\circ}$ ， $A H = A^{'} H$
依据公共边、已证垂直与等长
7 $△ P A H ≅ △ P A^{'} H$ ，所以 $P A = P A^{'}$
依据SAS

补充说明

第 3 步是“垂直”的来源，也是本题最容易跳过的一步：对称轴与对应点连线垂直，靠的是“两个角相等又互补”。反过来用（由 PA = PA′ 判断 P 在垂直平分线上）时，要注意 P 必须是平面内一点，并且“到两端距离相等”这个条件不能漏。

典型例题

题目如图，

A

与

A^{'}

关于直线

l

对称，

A A^{'}

交

l

于

H

，

A H = 3

，

P

是

l

上一点，

P A = 5

，

∠ A P l = 4 0^{\circ}

。求

A A^{'}

、

P A^{'}

的长与

∠ A P A^{'}

的度数。已知：

A

、

A^{'}

关于

l

对称，

A H = 3

，

P A = 5

，

∠ A P l = 4 0^{\circ}

。

解答

1 $A A^{'} = 2 A H = 6$
依据 $l$ 垂直平分 $A A^{'}$ ，即 $A H = H A^{'}$
2 $P A^{'} = P A = 5$
依据垂直平分线上的点到线段两端距离相等（也可由 $△ P A H ≅ △ P A^{'} H$ 得到）
3 $∠ A P H = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$
依据 $P H ⊥ l$ ，直角三角形两锐角互余
4 $∠ A^{'} P H = ∠ A P H = 5 0^{\circ}$
依据全等三角形的对应角相等
5 $∠ A P A^{'} = 5 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$
依据角的和

结论与点评

A A^{'} = 6

，

P A^{'} = 5

，

∠ A P A^{'} = 10 0^{\circ}

。

常见变式

变式 1作已知点的对称点

过

A

作

l

的垂线，垂足为

H

，在垂线上截取

H A^{'} = H A

，

A^{'}

即为所求；这是所有对称作图的基本步骤。

变式 2垂直平分线的判定

已知

P A = P A^{'}

，

Q A = Q A^{'}

，求证直线

P Q

是

A A^{'}

的垂直平分线：两点确定一条直线，而两点都在垂直平分线上。

变式 3坐标系中的对称

点

(x, y)

关于

x

轴对称得

(x, - y)

，关于

y

轴对称得

(- x, y)

；关于直线

y = x

对称得

(y, x)

。

变式 4与将军饮马联动

把“

P A = P A^{'}

”用于折线拉直，求

P A + P B

的最小值：对称负责搬端点，两点之间线段最短负责给答案。

易错点

!只说“对称”就说“垂直”，不说明两个角相等且互补。
!把对称轴说成“对应点连线的中垂线”，却指不出中点在哪里。
!用垂直平分线的性质时忘记“点在直线上”这个前提。
!把“关于直线对称”与“关于点对称”混为一谈：中心对称的对应点连线被中点平分，但不一定垂直。

关联模型

轴对称

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接对应点 AA′，交 l 于 H

标出直角与等长标记，读出垂直平分

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

将军饮马模型

翻折模型

脚拉脚模型

线段最短路径转化模型