轴对称与路径八年级下

翻折模型

又称：折叠模型、正方形折叠

把图形沿一条直线折叠，重合的部分全等：折痕是对应点连线的垂直平分线，对应线段相等、对应角相等，常配合勾股定理列方程求长度。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

一折就全等，折痕垂直平分对应点连线。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接对应点与折痕端点（连 AF、EF、BE）：折叠后

B

与

F

重合，连接

A F

、

E F

。图中

A B = A F

、

B E = E F

，

F

处的直角表示

A F ⊥ E F

；

B E

是原图中已有的边。→ 得到

△ A B E ≅ △ A F E

，把“折叠”这个动作翻译成全等关系

STEP 2由等长标记读出“折痕垂直平分 BF”：图中

A B = A F

、

E B = E F

，说明

A

、

E

到

B

、

F

的距离分别相等，所以

A

、

E

都在

B F

的垂直平分线上，折痕

A E

就是

B F

的垂直平分线。→ 得到“折痕垂直平分对应点连线”这一通用结论，也解释了为什么折叠后

∠ A F E = 9 0^{\circ}

仍然成立

模型的基本定义

如图，正方形

A B C D

中，

E

是

B C

上一点，沿

A E

折叠，使

B

落在

F

处，则

△ A B E ≅ △ A F E

，

A B = A F

，

B E = F E

，

∠ A F E = ∠ B = 9 0^{\circ}

，且折痕

A E

垂直平分

B F

。折叠前后的图形关于折痕成轴对称，重合的点叫对应点，折痕就是对应点连线的垂直平分线；折痕同时平分

∠ B A F

与

∠ B E F

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1出现“折叠”“翻折”“沿某条直线折过去”的字样
2折叠后某个点落在指定位置（如 B 落在 F）
3要求折痕的长、折后某条线段的长，或折后的角度
4图形是矩形、正方形、直角三角形等便于计算边长的图形
5出现“重合”“对应点”“折痕”等说法

常见触发关键词

折叠翻折折痕对应点B 落在 F正方形全等

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接对应点与折痕端点（连 AF、EF、BE）
折叠后 $B$ 与 $F$ 重合，连接 $A F$ 、 $E F$ 。图中 $A B = A F$ 、 $B E = E F$ ， $F$ 处的直角表示 $A F ⊥ E F$ ； $B E$ 是原图中已有的边。
得到得到 $△ A B E ≅ △ A F E$ ，把“折叠”这个动作翻译成全等关系
STEP 2
由等长标记读出“折痕垂直平分 BF”
图中 $A B = A F$ 、 $E B = E F$ ，说明 $A$ 、 $E$ 到 $B$ 、 $F$ 的距离分别相等，所以 $A$ 、 $E$ 都在 $B F$ 的垂直平分线上，折痕 $A E$ 就是 $B F$ 的垂直平分线。
得到得到“折痕垂直平分对应点连线”这一通用结论，也解释了为什么折叠后 $∠ A F E = 9 0^{\circ}$ 仍然成立

为什么这样添加辅助线

折叠问题的条件总以“动作”的形式给出：沿 AE 折过去，B 落在 F。这个动作本身没法直接算，必须先把它变成“图形关系”。画出折叠后的 △AFE 后，它与 △ABE 共用折痕 AE：AB 折成 AF，BE 折成 FE，∠B 折成 ∠AFE，于是全等成立。再把 AB = AF、EB = EF 两组合并看，A、E 到 B、F 距离相等，正好是垂直平分线的判定，折痕与 BF 的垂直关系也就出来了。折叠题的通用套路是：先补画折后的图形，再从全等里取长度和 90° 角，最后用勾股定理（或设未知数）列方程。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B E ≅ △ A F E$ ， $A B = A F$ ， $B E = E F$
$∠ A F E = ∠ B = 9 0^{\circ}$ （正方形中 $∠ B = 9 0^{\circ}$ ）
折痕 $A E$ 垂直平分 $B F$
$∠ B A E = ∠ E A F$ ， $∠ A E B = ∠ A E F$ ，即折痕平分 $∠ B A F$ 与 $∠ B E F$
若正方形边长为 $a$ 、 $B E = x$ ，则 $A F = a$ 、 $E F = x$ 、 $E C = a - x$ ， $A E = a^{2} + x^{2}$
$B F = \frac{2 a x}{a ^{2} + x ^{2}}$ （由 $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} a x = \frac{1}{4} \cdot A E \cdot B F$ 得到）

能使用哪些定理和性质

轴对称的性质：折痕垂直平分对应点连线，对应线段、对应角相等全等三角形判定：SSS / SAS正方形的四条边相等、四个角都是直角勾股定理线段垂直平分线的判定

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标正方形

A B C D

中，沿

A E

折叠使

B

落在

F

处。求证

△ A B E ≅ △ A F E

、

∠ A F E = 9 0^{\circ}

，且

A E

垂直平分

B F

。

1折叠后 $B$ 与 $F$ 重合， $A B$ 与 $A F$ 重合， $B E$ 与 $E F$ 重合
依据折叠（轴对称）的定义
2 $A B = A F$ ， $B E = E F$ ， $A E = A E$
依据重合的线段相等；公共边
3 $△ A B E ≅ △ A F E$
依据SSS
4 $∠ A F E = ∠ A B E = 9 0^{\circ}$
依据全等三角形对应角相等；正方形四个角都是直角
5 $∠ B A E = ∠ E A F$
依据全等三角形对应角相等，即折痕 $A E$ 平分 $∠ B A F$
6 $A B = A F$ ， $E B = E F$ ，所以 $A$ 、 $E$ 都在 $B F$ 的垂直平分线上
依据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
7折痕 $A E$ 垂直平分 $B F$
依据两点确定一条直线

补充说明

“折叠 ⇒ 全等”可以直接使用，但“折痕垂直平分对应点连线”必须由距离相等推出，不能凭图形看起来垂直。折叠问题的计算通常要设未知数：把 BE 设为 x，用 EF = x 与勾股定理把其余线段表示出来，再列方程。

典型例题

题目如图，正方形

A B C D

的边长为

10

，

E

在

B C

上，

B E = 4

，沿

A E

折叠使

B

落在

F

处。求

E F

、

A F

的长、

∠ A F E

的度数，以及折痕

A E

的长。已知：正方形边长

10

，

B E = 4

，沿

A E

折叠。

解答

1 $△ A B E ≅ △ A F E$
依据折叠的性质（轴对称）
2 $A F = A B = 10$ ， $E F = B E = 4$
依据全等三角形的对应边相等
3 $∠ A F E = ∠ A B E = 9 0^{\circ}$
依据全等三角形的对应角相等，正方形的角是直角
4 $A E^{2} = A B^{2} + B E^{2} = 100 + 16 = 116$
依据在 $Rt △ A B E$ 中用勾股定理
5 $A E = 116 = 229$
依据开方

结论与点评

E F = 4

，

A F = 10

，

∠ A F E = 9 0^{\circ}

，

A E = 229

。折叠问题里“对应线段相等”是最先能用上的结论，勾股定理负责把长度算出来。

常见变式

变式 1求 BF 的长

由

S_{△ A B E} = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20

，又

S_{△ A B E} = \frac{1}{4} \cdot A E \cdot B F

（

A E

垂直平分

B F

），得

B F = \frac{80}{2 29} = \frac{40 29}{29}

，是面积法“一题两算”的典型。

变式 2矩形中折到对边

矩形

A B C D

中

A B = 10

，

B C = 8

，沿过

A

的直线折叠使

B

落在

C D

上的

F

处：由

A F = A B = 10

得

D F = 6

、

C F = 4

；设

B E = x

，由

E F = B E

列方程

16 + (8 - x)^{2} = x^{2}

，解得

B E = 5

、

E C = 3

。

变式 3折叠求角

若

∠ B A E = 2 0^{\circ}

，则

∠ A E B = 7 0^{\circ}

，

∠ A E F = 7 0^{\circ}

，由

B

、

E

、

C

共线得

∠ F E C = 18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

。

变式 4折痕与垂直平分线

求证折痕垂直平分对应点连线：由

A B = A F

、

E B = E F

得

A

、

E

都在

B F

的垂直平分线上，这是本模型最有用的通用结论。

易错点

!折叠后只写“B 落在 F”，不写“因此 △ABE ≌ △AFE”，后面无从下手。
!把折痕当成对应点连线：折痕是 BF 的垂直平分线，BF 与折痕垂直，两者不要混。
!认为折叠后 ∠AFE = 90° 是“看出来的”，应说明它等于 ∠B。
!设未知数时把 BE 与 EF 当成两个不同的未知量，或忘记 EC = BC − BE 这一关系。

关联模型

轴对称

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接对应点与折痕端点（连 AF、EF、BE）

由等长标记读出“折痕垂直平分 BF”

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

基础轴对称模型

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线段最短路径转化模型