轴对称与路径八年级上

线段最短路径转化模型

又称：两次对称模型、周长最小模型

角的两边上各有一个动点，求三角形周长最小：作角内定点关于两边的对称点，两次对称把三条边拉成一条线段，最小值等于两对称点之间的距离。

难度挑战考试权重 6 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

两次对称，折线拉直；周长最小，化成一条线段。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂：过

P

作

O A

的垂线并延长一倍得到

P_{1}

，同样得到

P_{2}

。图中

O P_{1} = O P = O P_{2}

，且

O A

垂直平分

P P_{1}

、

O B

垂直平分

P P_{2}

。→ 得到

P M = P_{1} M

、

P N = P_{2} N

，把三条边的和转化为从

P_{1}

出发、经

M

、

N

到

P_{2}

的折线

STEP 2连接 P₁P₂，与 OA、OB 分别交于 M、N：连接

P_{1} P_{2}

，它与

O A

的交点就是

M

，与

O B

的交点就是

N

。图中

P M = P_{1} M

、

P N = P_{2} N

已用等长标记标出。→ 折线被拉直，

P_{1} M + M N + N P_{2} = P_{1} P_{2}

；由两点之间线段最短，这就是最小值

STEP 3连接 PM、PN，并算 P₁P₂：连接

P M

、

P N

后，由对称得

P M = P_{1} M

、

P N = P_{2} N

，于是周长等于

P_{1} P_{2}

。又

∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B

，

O P_{1} = O P_{2} = O P

，所以在等腰

△ P_{1} O P_{2}

中可以算出

P_{1} P_{2} = 2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B

。→ 把“最小值”具体化为可计算的线段长，得到

2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B

模型的基本定义

如图，

∠ A O B

内有一点

P

，

M

、

N

分别在

O A

、

O B

上，求

△ P M N

周长的最小值。作

P

关于

O A

的对称点

P_{1}

、关于

O B

的对称点

P_{2}

，则

P M = P_{1} M

，

P N = P_{2} N

，周长

= P_{1} M + M N + N P_{2} \geq P_{1} P_{2}

。当

M

、

N

取

P_{1} P_{2}

与

O A

、

O B

的交点时，周长取到最小值

P_{1} P_{2}

。这就是“两次对称、折线拉直”的转化模型，它是将军饮马模型从“一个动点”推广到“两个动点”的结果。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1一个定点在角（或两条定直线）内部
2两个动点分别被限制在两条定直线上
3要求“三角形周长最小”或“折线 PM + MN + NP 最小”
4两条定直线有公共顶点（构成角），或互相平行
5动点的位置由“对称点连线与定直线的交点”确定

常见触发关键词

周长最小两个动点角内一点两次对称折线最短PM + MN + NP两点之间线段最短

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂
过 $P$ 作 $O A$ 的垂线并延长一倍得到 $P_{1}$ ，同样得到 $P_{2}$ 。图中 $O P_{1} = O P = O P_{2}$ ，且 $O A$ 垂直平分 $P P_{1}$ 、 $O B$ 垂直平分 $P P_{2}$ 。
得到得到 $P M = P_{1} M$ 、 $P N = P_{2} N$ ，把三条边的和转化为从 $P_{1}$ 出发、经 $M$ 、 $N$ 到 $P_{2}$ 的折线
STEP 2
连接 P₁P₂，与 OA、OB 分别交于 M、N
连接 $P_{1} P_{2}$ ，它与 $O A$ 的交点就是 $M$ ，与 $O B$ 的交点就是 $N$ 。图中 $P M = P_{1} M$ 、 $P N = P_{2} N$ 已用等长标记标出。
得到折线被拉直， $P_{1} M + M N + N P_{2} = P_{1} P_{2}$ ；由两点之间线段最短，这就是最小值
STEP 3
连接 PM、PN，并算 P₁P₂
连接 $P M$ 、 $P N$ 后，由对称得 $P M = P_{1} M$ 、 $P N = P_{2} N$ ，于是周长等于 $P_{1} P_{2}$ 。又 $∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B$ ， $O P_{1} = O P_{2} = O P$ ，所以在等腰 $△ P_{1} O P_{2}$ 中可以算出 $P_{1} P_{2} = 2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B$ 。
得到把“最小值”具体化为可计算的线段长，得到 $2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B$

为什么这样添加辅助线

周长 PM + MN + NP 里有两个动点，直接求最值无从下手。但 M 在 OA 上，把 P 关于 OA 对称过去，PM 就换成了等长的 P₁M，动点 M 仍留在 OA 上；同理 P 换成 P₂。于是“从 P 出发绕一圈回来”变成“从 P₁ 出发经过 M、N 到 P₂”。折线的两个拐点都落在定直线上，当整条折线被拉直成线段 P₁P₂ 时最短。两次对称的作用，是把“两个动点”的问题化成“一条线段”的问题——这正是最短路径题的通用思想：对称负责搬运端点，线段最短负责给出答案。

添加辅助线后产生的新关系

$P M = P_{1} M$ ， $P N = P_{2} N$ ， $O P = O P_{1} = O P_{2}$
$△ P M N$ 周长的最小值 $= P_{1} P_{2}$
$∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B$ ，所以 $P_{1} P_{2} = 2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B$
$∠ P_{1} P P_{2} = 18 0^{\circ} - ∠ A O B$ （ $P P_{1} ⊥ O A$ ， $P P_{2} ⊥ O B$ ）
取最小值时 $P_{1}$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $P_{2}$ 四点共线
将军饮马是本模型退化为一个动点（只有 M）时的特例

能使用哪些定理和性质

轴对称的性质：对称点到轴上任意一点的距离相等两点之间线段最短等腰三角形的性质（OP₁ = OP₂，顶角 ∠P₁OP₂）三角形三边关系

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标

∠ A O B

内有一点

P

，

M

在

O A

上，

N

在

O B

上。求

△ P M N

周长的最小值。

1作 $P$ 关于 $O A$ 的对称点 $P_{1}$ 、关于 $O B$ 的对称点 $P_{2}$
依据作图
2 $P M = P_{1} M$ ， $P N = P_{2} N$
依据轴对称的性质
3 $△ P M N$ 的周长 $= P M + M N + N P = P_{1} M + M N + N P_{2}$
依据等量代换
4 $P_{1} M + M N + N P_{2} \geq P_{1} P_{2}$
依据两点之间线段最短
5当 $M$ 、 $N$ 是 $P_{1} P_{2}$ 与 $O A$ 、 $O B$ 的交点时， $P_{1}$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $P_{2}$ 共线，周长 $= P_{1} P_{2}$
依据折线拉直
6周长的最小值为 $P_{1} P_{2}$
依据最小值的定义

补充说明

两次对称后 ∠P₁OP₂ = 2∠AOB。若 2∠AOB ≥ 180°，P₁P₂ 与两条边的交点可能落在反向延长线上，这时“周长最小值”要在射线上取，需要单独讨论；本题型通常默认 ∠AOB 是锐角。另外要检查 M、N 是否落在射线上（而不是延长线上）。

典型例题

题目如图，

∠ A O B = 3 0^{\circ}

，

P

在角的内部且在角平分线上，

O P = 6

，

M

、

N

分别在

O A

、

O B

上。求

△ P M N

周长的最小值。已知：

∠ A O B = 3 0^{\circ}

，

P

在角平分线上，

O P = 6

。

解答

1作 $P$ 关于 $O A$ 的对称点 $P_{1}$ 、关于 $O B$ 的对称点 $P_{2}$
依据辅助线（两次对称）
2 $O P_{1} = O P_{2} = O P = 6$
依据轴对称的性质
3 $∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B = 6 0^{\circ}$
依据两次对称： $O A$ 平分 $∠ P_{1} O P$ ， $O B$ 平分 $∠ P O P_{2}$
4 $△ P_{1} O P_{2}$ 是等边三角形， $P_{1} P_{2} = 6$
依据有一个角是 $6 0^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形
5 $△ P M N$ 的周长 $= P_{1} M + M N + N P_{2} \geq P_{1} P_{2} = 6$
依据对称与两点之间线段最短
6 $M$ 、 $N$ 取 $P_{1} P_{2}$ 与 $O A$ 、 $O B$ 的交点时取等号
依据折线拉直

结论与点评

△ P M N

周长的最小值为

6

，此时

M

、

N

分别是

P_{1} P_{2}

与

O A

、

O B

的交点，且

P_{1}

、

M

、

N

、

P_{2}

四点共线。

常见变式

变式 1一个动点（将军饮马）

只作一次对称：

M

在

O A

上，求

P M + M Q

最小，作

P

（或

Q

）关于

O A

的对称点，连另一定点即可。

变式 2矩形中周长最小

在矩形

A B C D

的边

A D

、

C D

上各取一点，使某个三角形周长最小：把定点分别关于两条边对称，方法完全相同，只是角换成了矩形的直角。

变式 3两条平行线（造桥选址）

两平行线间要造一段垂直于它们的桥，求路径最短：用“平移”把一条线搬到另一条线上，而不是作对称；对称保长度，平移保方向。

变式 4求最小周长时的角度

由

∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B

与

O P

可算出

P_{1} P_{2}

；反过来已知最小周长，也能求

∠ A O B

或

O P

。

易错点

!只作一次对称：两个动点必须作两次对称，否则折线拉不直。
!把两个对称点连成线段后，不检查交点是否落在射线上。
!误以为最小值是 PM + MN + NP 中某两条边之和。
!把对称点作成了关于顶点 O 的中心对称点，那不是轴对称。

关联模型

轴对称

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂

连接 P₁P₂，与 OA、OB 分别交于 M、N

连接 PM、PN，并算 P₁P₂

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

将军饮马模型

基础轴对称模型

胡不归模型

翻折模型