轴对称与路径八年级上

胡不归模型

又称：带系数线段和最短、sin α = k 型最短路径

求 PA + k·PB（0<k<1）的最小值：过 B 作射线 BD 使它与直线的夹角 α 满足 sin α = k，过 A 作 AH ⊥ BD 于 H，AH 与直线的交点就是 P，最小值等于 AH。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

带系数的和，先造一个角；sin 等于 k，垂线段最短。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1过 B 作射线 BD，使 sin∠(BD, l) = k：以

l

为一边、

B

为顶点作角

α

，使

sin α = k

（例如

k = \frac{1}{2}

时

α = 3 0^{\circ}

）。射线

B D

要取在

A

的另一侧（图中

A

在

l

上方，

B D

在

l

下方）。→ 造出一个斜边在

l

上、锐角为

α

的直角三角形，把

k \cdot QB

翻译成一条垂线段

Q H^{'}

STEP 2过 A 作 AH ⊥ BD 于 H，交 l 于 P：过

A

作

B D

的垂线，垂足为

H

，这条垂线与

l

的交点就是

P

。

A H

是点

A

到直线

B D

的距离。图中

H

处标有直角，且

A

、

P

、

H

三点共线、

P

在

A

与

H

之间。→ 得到最小值

A H

，同时确定最优点

P

的位置

STEP 3对 l 上任一点 Q，作 QH′ ⊥ BD 于 H′：在

Rt △ QB H^{'}

中，

sin α = \frac{Q H ^{'}}{QB}

，所以

Q H^{'} = k \cdot QB

。这一步是把“带系数的线段”换成“点到直线的距离”，是证明的关键。→

Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H

，折线

A

—

Q

—

H^{'}

不短于

A

到直线

B D

的垂线段

模型的基本定义

如图，

B

是直线

l

上的定点，

A

是

l

外一定点，

P

是

l

上一动点，

0 < k < 1

，求

P A + k \cdot P B

的最小值。过

B

作射线

B D

，使

B D

与

l

的夹角

α

满足

sin α = k

，且

B D

与

A

分居

l

的两侧；过

A

作

A H ⊥ B D

于

H

，

A H

交

l

于点

P

。则对

l

上任一点

Q

，作

Q H^{'} ⊥ B D

于

H^{'}

，在

Rt △ QB H^{'}

中

Q H^{'} = QB \cdot sin α = k \cdot QB

，于是

Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H

，等号在

Q = P

时成立。所以

P A + k \cdot P B

的最小值等于

A H

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1求两条线段的和，其中一条带正系数 $k$ （ $0 < k < 1$ ）
2动点 P 在一条定直线上，B 是这条直线上的定点
3系数 $k$ 能写成某个角的正弦值（如 $k = \frac{1}{2}$ 对应 $3 0^{\circ}$ ， $k = \frac{2}{2}$ 对应 $4 5^{\circ}$ ）
4A 在直线外，且 A 到直线的距离或 AB 的长度已知、可求
5过 $A$ 作 $B D$ 的垂线，垂足 $H$ 落在射线 $B D$ 上（等价于 $∠ A B D < 9 0^{\circ}$ ），这样 $A H$ 才与 $l$ 相交
6题目要求最小值，且不能直接用“两点之间线段最短”解决

常见触发关键词

PA + k·PB0 < k < 1最小值sin α = k动点在直线上垂线段最短胡不归

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
过 B 作射线 BD，使 sin∠(BD, l) = k
以 $l$ 为一边、 $B$ 为顶点作角 $α$ ，使 $sin α = k$ （例如 $k = \frac{1}{2}$ 时 $α = 3 0^{\circ}$ ）。射线 $B D$ 要取在 $A$ 的另一侧（图中 $A$ 在 $l$ 上方， $B D$ 在 $l$ 下方）。
得到造出一个斜边在 $l$ 上、锐角为 $α$ 的直角三角形，把 $k \cdot QB$ 翻译成一条垂线段 $Q H^{'}$
STEP 2
过 A 作 AH ⊥ BD 于 H，交 l 于 P
过 $A$ 作 $B D$ 的垂线，垂足为 $H$ ，这条垂线与 $l$ 的交点就是 $P$ 。 $A H$ 是点 $A$ 到直线 $B D$ 的距离。图中 $H$ 处标有直角，且 $A$ 、 $P$ 、 $H$ 三点共线、 $P$ 在 $A$ 与 $H$ 之间。
得到得到最小值 $A H$ ，同时确定最优点 $P$ 的位置
STEP 3
对 l 上任一点 Q，作 QH′ ⊥ BD 于 H′
在 $Rt △ QB H^{'}$ 中， $sin α = \frac{Q H ^{'}}{QB}$ ，所以 $Q H^{'} = k \cdot QB$ 。这一步是把“带系数的线段”换成“点到直线的距离”，是证明的关键。
得到 $Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H$ ，折线 $A$ — $Q$ — $H^{'}$ 不短于 $A$ 到直线 $B D$ 的垂线段

为什么这样添加辅助线

PA + k·PB 里，k 把 PB 打了折，两条线段不能直接相加，对称也帮不上忙（对称只保持长度，不改变系数）。关键是想办法造出一条长度恰好等于 k·PB 的线段：直角三角形中，锐角的对边等于斜边乘这个角的正弦，所以只要让 PB 成为某个直角三角形的斜边、让这个锐角的正弦等于 k，那么 k·PB 就是一条垂线段。于是原式变成“从 A 出发，经过 l 上的点 Q，再到直线 BD”的折线，而点到直线的距离以垂线段为最短，最小值就是 AH。辅助线的作用，就是把“系数”翻译成“角度”，再把“角度”翻译成“垂线段”。

添加辅助线后产生的新关系

$∠ QB D = α$ ， $sin α = k$
$Q H^{'} = QB \cdot sin α = k \cdot QB$ （ $H^{'}$ 是 $Q$ 到 $B D$ 的垂足）
$P A + k \cdot P B = P A + P H = A H$
对 $l$ 上任意 $Q$ ， $Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H$
$A H = A B \cdot sin ∠ A B D$ （在 $Rt △ A B H$ 中， $A H$ 是 $∠ A B H$ 的对边）
当 $P$ 与 $B$ 重合时 $P A + k \cdot P B = A B > A H$ ，所以最优点一般不是 $B$

能使用哪些定理和性质

正弦的定义：直角三角形中，锐角的正弦等于它的对边与斜边之比点到直线的距离：垂线段最短直角三角形中斜边大于直角边三角形三边关系（用于说明折线不短于垂线段）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标设

P

在直线

l

上，

A

在

l

外，

B

在

l

上，

0 < k < 1

。求

P A + k \cdot P B

的最小值。

1作射线 $B D$ ，使 $∠ (l, B D) = α$ 且 $sin α = k$ ， $B D$ 与 $A$ 分居 $l$ 两侧
依据作图
2对 $l$ 上任一点 $Q$ ，作 $Q H^{'} ⊥ B D$ 于 $H^{'}$
依据作图
3在 $Rt △ QB H^{'}$ 中， $sin α = \frac{Q H ^{'}}{QB}$
依据正弦的定义
4 $Q H^{'} = QB \cdot sin α = k \cdot QB$
依据等量代换
5 $Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H$
依据两点之间线段最短：折线 $A$ — $Q$ — $H^{'}$ 不短于 $A$ 到直线 $B D$ 的垂线段 $A H$
6取 $Q = P$ （ $A H$ 与 $l$ 的交点）时， $H^{'}$ 与 $H$ 重合， $Q A + Q H^{'} = P A + P H = A H$
依据垂足与交点重合，等号成立
7 $P A + k \cdot P B$ 的最小值为 $A H$
依据最小值的定义

补充说明

两个前提不能丢：一是 0 < k < 1（k = 1 时 α = 90°，垂足 H 与 A 在 l 的同侧，AH 与 l 不相交，构造失效，此时应改用将军饮马的对称法；k > 1 时不存在这样的锐角）；二是射线 BD 必须与 A 分居 l 的两侧，并且垂足 H 落在射线 BD 上（即 ∠ABD < 90°），否则线段 AH 与 l 不相交，QA + QH′ 取不到 AH，最小值就不是 AH。八年级上册只需掌握 k = ½（30°）、k = √2/2（45°）等特殊角，一般的 k 在九年级学完锐角三角函数后再严格处理。

典型例题

题目直线

l

上有一点

B

，

A

在

l

外，

A B = 8

，

∠ A B l = 3 0^{\circ}

。

P

是

l

上一动点，求

P A + \frac{1}{2} P B

的最小值。已知：

B

在

l

上，

A

在

l

外，

A B = 8

，

∠ A B l = 3 0^{\circ}

，

k = \frac{1}{2}

。

解答

1取 $α = 3 0^{\circ}$ ，则 $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} = k$
依据构造： $k = \frac{1}{2}$ 对应 $3 0^{\circ}$
2过 $B$ 在 $l$ 的另一侧作射线 $B D$ ，使 $∠ (l, B D) = 3 0^{\circ}$
依据作图
3 $∠ A B D = ∠ A B l + ∠ l B D = 3 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$
依据角的和（ $A$ 与 $D$ 分居 $l$ 两侧）
4过 $A$ 作 $A H ⊥ B D$ 于 $H$ ，则 $A H = A B \cdot sin ∠ A B D = 8 \times \frac{3}{2} = 43$
依据在 $Rt △ A B H$ 中用正弦的定义
5对 $l$ 上任意 $Q$ ， $Q A + \frac{1}{2} QB = Q A + Q H^{'} \geq A H = 43$
依据垂线段最短
6 $Q$ 取 $A H$ 与 $l$ 的交点 $P$ 时等号成立
依据折线拉直， $P$ 在 $A$ 、 $H$ 之间

结论与点评

P A + \frac{1}{2} P B

的最小值为

43

，取最小值时

P

是

A H

与

l

的交点，且

P H = \frac{1}{2} P B

。

常见变式

变式 1k = √2/2（45°）

作

4 5^{\circ}

角，

sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

，最小值仍为

A H = A B \cdot sin ∠ A B D

，只是构造角换成

4 5^{\circ}

。

变式 2k = √3/2（60°）

作

6 0^{\circ}

角，

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。注意

k

越接近 1，构造出的射线越“陡”，但必须保持

k < 1

。

变式 3与将军饮马对照

k = 1

时

P A + k \cdot P B = P A + P B

，用对称点 + 两点之间线段最短（将军饮马）；

0 < k < 1

时对称失效，改用“造角 + 垂线段最短”（胡不归）。两个模型的动点都在直线上，区别只在有没有系数。

变式 4反求 PB 与 PA

取最小值时

P H = k \cdot P B

，由

A H

与

∠ A B H

可先求

P B = \frac{P H}{k}

，再用

P A = A H - P H

求

P A

。

易错点

!把射线 BD 作在 A 的同侧，导致 AH 与 l 的交点不在 A、H 之间，最小值取不到。
!把 $k \cdot P B$ 写成 $k \cdot P A$ ，或把垂线作到了错误的一边，导致 $Q H^{'}$ 与 $QB$ 的对应关系颠倒。
!忘记 sin α = k 中的 α 是 BD 与直线 l 的夹角，不是 BD 与 AB 的夹角。
!认为最小值是 $A B$ （ $P$ 与 $B$ 重合），忽略了 $A H < A B$ ；也不要漏掉 $0 < k < 1$ 这个前提。

关联模型

轴对称

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

过 B 作射线 BD，使 sin∠(BD, l) = k

过 A 作 AH ⊥ BD 于 H，交 l 于 P

对 l 上任一点 Q，作 QH′ ⊥ BD 于 H′

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

将军饮马模型

基础轴对称模型

线段最短路径转化模型

特殊角旋转模型