Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

轴对称与路径 / 辅助线实验室

辅助线进度 3 / 3

② 第 3 步：对 l 上任一点 Q，作 QH′ ⊥ BD 于 H′3 / 3

在

Rt △ QB H^{'}

中，

sin α = \frac{Q H ^{'}}{QB}

，所以

Q H^{'} = k \cdot QB

。这一步是把“带系数的线段”换成“点到直线的距离”，是证明的关键。→

Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H

，折线

A

—

Q

—

H^{'}

不短于

A

到直线

B D

的垂线段

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1过 B 作射线 BD，使 sin∠(BD, l) = k
以 $l$ 为一边、 $B$ 为顶点作角 $α$ ，使 $sin α = k$ （例如 $k = \frac{1}{2}$ 时 $α = 3 0^{\circ}$ ）。射线 $B D$ 要取在 $A$ 的另一侧（图中 $A$ 在 $l$ 上方， $B D$ 在 $l$ 下方）。
→ 造出一个斜边在 $l$ 上、锐角为 $α$ 的直角三角形，把 $k \cdot QB$ 翻译成一条垂线段 $Q H^{'}$
2过 A 作 AH ⊥ BD 于 H，交 l 于 P
过 $A$ 作 $B D$ 的垂线，垂足为 $H$ ，这条垂线与 $l$ 的交点就是 $P$ 。 $A H$ 是点 $A$ 到直线 $B D$ 的距离。图中 $H$ 处标有直角，且 $A$ 、 $P$ 、 $H$ 三点共线、 $P$ 在 $A$ 与 $H$ 之间。
→ 得到最小值 $A H$ ，同时确定最优点 $P$ 的位置
3对 l 上任一点 Q，作 QH′ ⊥ BD 于 H′
在 $Rt △ QB H^{'}$ 中， $sin α = \frac{Q H ^{'}}{QB}$ ，所以 $Q H^{'} = k \cdot QB$ 。这一步是把“带系数的线段”换成“点到直线的距离”，是证明的关键。
→ $Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H$ ，折线 $A$ — $Q$ — $H^{'}$ 不短于 $A$ 到直线 $B D$ 的垂线段

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

胡不归模型

PA + k·PB 里，k 把 PB 打了折，两条线段不能直接相加，对称也帮不上忙（对称只保持长度，不改变系数）。关键是想办法造出一条长度恰好等于 k·PB 的线段：直角三角形中，锐角的对边等于斜边乘这个角的正弦，所以只要让 PB 成为某个直角三角形的斜边、让这个锐角的正弦等于 k，那么 k·PB 就是一条垂线段。于是原式变成“从 A 出发，经过 l 上的点 Q，再到直线 BD”的折线，而点到直线的距离以垂线段为最短，最小值就是 AH。辅助线的作用，就是把“系数”翻译成“角度”，再把“角度”翻译成“垂线段”。

NEW RELATIONS

$∠ QB D = α$ ， $sin α = k$
$Q H^{'} = QB \cdot sin α = k \cdot QB$ （ $H^{'}$ 是 $Q$ 到 $B D$ 的垂足）
$P A + k \cdot P B = P A + P H = A H$
对 $l$ 上任意 $Q$ ， $Q A + k \cdot QB = Q A + Q H^{'} \geq A H$
$A H = A B \cdot sin ∠ A B D$ （在 $Rt △ A B H$ 中， $A H$ 是 $∠ A B H$ 的对边）
当 $P$ 与 $B$ 重合时 $P A + k \cdot P B = A B > A H$ ，所以最优点一般不是 $B$

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。