轴对称与路径八年级上

将军饮马模型

又称：对称最短路径、饮马问题

直线同侧有两点 A、B，在直线上求一点 P 使 PA + PB 最小：作 A 关于直线的对称点 A′，连 A′B 交直线于 P，最小值就是 A′B。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

同侧两点一条线，作对称、连直线；交点就是最优点。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1作 A 关于直线 l 的对称点 A′：过

A

作

l

的垂线，垂足为

H

，在垂线上截取

H A^{'} = H A

，

A^{'}

就是

A

关于

l

的对称点。图中

A

与

A^{'}

到

l

的距离相等，且

A A^{'} ⊥ l

。→ 由对称性得

P A = P A^{'}

，把“两条线段的和”变成“一条折线

A^{'} - P - B

”

STEP 2连接 A′B，与 l 交于点 P：连接

A^{'} B

，它与直线

l

的交点就是所求的

P

。这一步的依据是“两点之间线段最短”：

A^{'} B \leq A^{'} Q + QB

对任意

Q

成立，等号只在

Q

落在

A^{'} B

上时取到。→ 确定最优点

P

的位置（唯一），并给出最小值的表达式

A^{'} B

STEP 3连接 AP、PB：连接

A P

、

P B

，图中

P A = P A^{'}

。于是

P A + P B = P A^{'} + P B = A^{'} B

，最小值就是线段

A^{'} B

的长度，可以按已知数据算出来。→ 把“最小值”具体化为一条可计算的线段，并且能验证

P

处的角度关系

模型的基本定义

如图，

A

、

B

在直线

l

的同侧。作

A

关于

l

的对称点

A^{'}

，连接

A^{'} B

交

l

于点

P

，则

P A = P A^{'}

。对

l

上任意一点

Q

，都有

Q A + QB = Q A^{'} + QB \geq A^{'} B = P A^{'} + P B = P A + P B

，所以

P

就是使

P A + P B

最小的点，最小值等于

A^{'} B

。这个模型来自“将军从营地

A

出发，到河边饮马后再回营地

B

，怎样走最近”的经典问题。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1有一条确定的直线（河岸、街道、坐标轴或三角形的一条边）
2直线同侧有两个定点 A、B
3要在直线上找一点 P，使 PA + PB 最小
4动点被限制在一条直线上，而不是平面内任意位置
5题目要求“最小值”“最短距离”“最省时间”

常见触发关键词

两点在直线同侧PA + PB 最小最短路径对称点河岸动点在直线上周长最小

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作 A 关于直线 l 的对称点 A′
过 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，在垂线上截取 $H A^{'} = H A$ ， $A^{'}$ 就是 $A$ 关于 $l$ 的对称点。图中 $A$ 与 $A^{'}$ 到 $l$ 的距离相等，且 $A A^{'} ⊥ l$ 。
得到由对称性得 $P A = P A^{'}$ ，把“两条线段的和”变成“一条折线 $A^{'} - P - B$ ”
STEP 2
连接 A′B，与 l 交于点 P
连接 $A^{'} B$ ，它与直线 $l$ 的交点就是所求的 $P$ 。这一步的依据是“两点之间线段最短”： $A^{'} B \leq A^{'} Q + QB$ 对任意 $Q$ 成立，等号只在 $Q$ 落在 $A^{'} B$ 上时取到。
得到确定最优点 $P$ 的位置（唯一），并给出最小值的表达式 $A^{'} B$
STEP 3
连接 AP、PB
连接 $A P$ 、 $P B$ ，图中 $P A = P A^{'}$ 。于是 $P A + P B = P A^{'} + P B = A^{'} B$ ，最小值就是线段 $A^{'} B$ 的长度，可以按已知数据算出来。
得到把“最小值”具体化为一条可计算的线段，并且能验证 $P$ 处的角度关系

为什么这样添加辅助线

直接看 PA + PB，P 一动两条线段都在变，没法下手。对称把“同侧”变成“异侧”：PA 换成等长的 PA′，问题变成“从 A′ 出发经过 l 上的点 P 到 B”，即一条折线的最短问题。折线何时最短？拉直的时候——两点之间线段最短。于是 P 的位置由“连线与 l 的交点”唯一确定，最小值就是线段 A′B 的长度。整个方法只有一句话：用对称把折线的一端搬到直线的另一侧，再让折线变成线段。

添加辅助线后产生的新关系

$P A = P A^{'}$ ， $∠ A P l = ∠ A^{'} P l$
$P A + P B$ 的最小值 $= A^{'} B$
最小点 $P$ 是 $A^{'} B$ 与 $l$ 的交点，此时 $A P$ 与 $l$ 的夹角等于 $B P$ 与 $l$ 的夹角（光的反射定律）
若 $A$ 、 $B$ 在 $l$ 的异侧，直接连 $A B$ 交 $l$ 于 $P$ ，最小值 $= A B$
若 $A$ 、 $B$ 到 $l$ 的距离分别为 $h_{1}$ 、 $h_{2}$ ，在 $l$ 上的垂足相距 $d$ ，则最小值 $= d^{2} + (h_{1} + h_{2})^{2}$
最优点处， $A A^{'}$ 被 $l$ 垂直平分， $P$ 到 $A$ 、 $A^{'}$ 的距离永远相等

能使用哪些定理和性质

轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等两点之间线段最短三角形三边关系（两边之和大于第三边，等号在三点共线时成立）垂线段最短（作对称点时用到）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标直线

l

同侧有

A

、

B

两点，

P

为

l

上一点。求

P A + P B

的最小值。

1作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 交 $l$ 于 $P$
依据作图
2 $P A = P A^{'}$
依据轴对称的性质（ $l$ 垂直平分 $A A^{'}$ ）
3设 $Q$ 是 $l$ 上任意一点，则 $Q A = Q A^{'}$
依据同上， $l$ 上任意一点到 $A$ 、 $A^{'}$ 距离相等
4 $Q A + QB = Q A^{'} + QB \geq A^{'} B$
依据两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边）
5 $A^{'} B = P A^{'} + P B = P A + P B$
依据 $P$ 在 $A^{'} B$ 上
6所以 $P A + P B \leq Q A + QB$ 对 $l$ 上任意 $Q$ 成立
依据由第 4、5 步
7 $P A + P B$ 的最小值为 $A^{'} B$
依据最小值的定义

补充说明

若 A、B 在 l 的异侧，不需要作对称，直接连接 AB 与 l 的交点就是最小点，最小值是 AB；此时再作对称反而把问题变复杂。判断“同侧还是异侧”是这个题型的第一步。另外，求出 P 之后最好再回答“最小值是多少”，很多题目两问都要求。

典型例题

题目如图，直线

l

同侧有

A

、

B

两点，

A^{'}

是

A

关于

l

的对称点，

A^{'} B

与

l

交于点

P

。已知

A^{'} B = 10

，

∠ A P l = 3 5^{\circ}

。求

P A + P B

的最小值与

∠ A P B

的度数。已知：

A

、

B

在

l

同侧，

A^{'}

为

A

的对称点，

P

为

A^{'} B

与

l

的交点，

A^{'} B = 10

，

∠ A P l = 3 5^{\circ}

。

解答

1 $P A = P A^{'}$
依据轴对称的性质
2对 $l$ 上任意 $Q$ ， $Q A + QB = Q A^{'} + QB \geq A^{'} B$
依据两点之间线段最短
3 $A^{'} B = P A^{'} + P B = P A + P B$
依据 $P$ 在 $A^{'} B$ 上
4 $P A + P B$ 的最小值为 $10$
依据最小值的定义
5 $∠ A^{'} P l = ∠ A P l = 3 5^{\circ}$ ，所以 $∠ A P A^{'} = 2 \times 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$
依据轴对称的性质（ $l$ 平分 $∠ A P A^{'}$ ）
6 $∠ A P B = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$
依据 $P B$ 与 $P A^{'}$ 是方向相反的两条射线（ $A^{'}$ 、 $P$ 、 $B$ 共线），平角

结论与点评

P A + P B

的最小值为

10

；

∠ A P B = 11 0^{\circ}

。最优点

P

处，

A P

与

l

的夹角等于

B P

与

l

的夹角，就像光从

A

射到镜面

l

再反射到

B

。

常见变式

变式 1两点在异侧

A

、

B

在

l

异侧时，直接连

A B

交

l

于

P

，最小值

= A B

，不需要作对称。

变式 2三角形周长最小

当动点不止一个（如

M

在

O A

上、

N

在

O B

上），要作两次对称，把三条边拉成一条线段，见“线段最短路径转化模型”。

变式 3带系数的路径

若求

P A + k \cdot P B

（

0 < k < 1

），对称不再够用（对称只保持长度，不改变系数），要改用“作角使

sin α = k

”的胡不归方法。

变式 4用勾股算最小值

已知

A

、

B

到

l

的距离

h_{1}

、

h_{2}

与水平距离

d

，则最小值

A^{'} B = d^{2} + (h_{1} + h_{2})^{2}

（学完勾股定理后使用）。

易错点

!不作对称直接连 AB：A、B 同侧时，AB 与 l 的交点根本不在两者之间，不是最优点。
!把对称点作成了关于“过 $A$ 的垂线”的对称，或者把 $A^{'}$ 作到了 $A$ 的同侧。
!求出 P 的位置就结束，忘记回答“最小值是多少”。
!A、B 在异侧时还作对称，把问题复杂化，甚至算出错误答案。

关联模型

轴对称

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作 A 关于直线 l 的对称点 A′

连接 A′B，与 l 交于点 P

连接 AP、PB

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

基础轴对称模型

胡不归模型

线段最短路径转化模型

翻折模型