Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

轴对称与路径 / 辅助线实验室

辅助线进度 3 / 3

② 第 3 步：连接 AP、PB3 / 3

连接

A P

、

P B

，图中

P A = P A^{'}

。于是

P A + P B = P A^{'} + P B = A^{'} B

，最小值就是线段

A^{'} B

的长度，可以按已知数据算出来。→ 把“最小值”具体化为一条可计算的线段，并且能验证

P

处的角度关系

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1作 A 关于直线 l 的对称点 A′
过 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，在垂线上截取 $H A^{'} = H A$ ， $A^{'}$ 就是 $A$ 关于 $l$ 的对称点。图中 $A$ 与 $A^{'}$ 到 $l$ 的距离相等，且 $A A^{'} ⊥ l$ 。
→ 由对称性得 $P A = P A^{'}$ ，把“两条线段的和”变成“一条折线 $A^{'} - P - B$ ”
2连接 A′B，与 l 交于点 P
连接 $A^{'} B$ ，它与直线 $l$ 的交点就是所求的 $P$ 。这一步的依据是“两点之间线段最短”： $A^{'} B \leq A^{'} Q + QB$ 对任意 $Q$ 成立，等号只在 $Q$ 落在 $A^{'} B$ 上时取到。
→ 确定最优点 $P$ 的位置（唯一），并给出最小值的表达式 $A^{'} B$
3连接 AP、PB
连接 $A P$ 、 $P B$ ，图中 $P A = P A^{'}$ 。于是 $P A + P B = P A^{'} + P B = A^{'} B$ ，最小值就是线段 $A^{'} B$ 的长度，可以按已知数据算出来。
→ 把“最小值”具体化为一条可计算的线段，并且能验证 $P$ 处的角度关系

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

将军饮马模型

直接看 PA + PB，P 一动两条线段都在变，没法下手。对称把“同侧”变成“异侧”：PA 换成等长的 PA′，问题变成“从 A′ 出发经过 l 上的点 P 到 B”，即一条折线的最短问题。折线何时最短？拉直的时候——两点之间线段最短。于是 P 的位置由“连线与 l 的交点”唯一确定，最小值就是线段 A′B 的长度。整个方法只有一句话：用对称把折线的一端搬到直线的另一侧，再让折线变成线段。

NEW RELATIONS

$P A = P A^{'}$ ， $∠ A P l = ∠ A^{'} P l$
$P A + P B$ 的最小值 $= A^{'} B$
最小点 $P$ 是 $A^{'} B$ 与 $l$ 的交点，此时 $A P$ 与 $l$ 的夹角等于 $B P$ 与 $l$ 的夹角（光的反射定律）
若 $A$ 、 $B$ 在 $l$ 的异侧，直接连 $A B$ 交 $l$ 于 $P$ ，最小值 $= A B$
若 $A$ 、 $B$ 到 $l$ 的距离分别为 $h_{1}$ 、 $h_{2}$ ，在 $l$ 上的垂足相距 $d$ ，则最小值 $= d^{2} + (h_{1} + h_{2})^{2}$
最优点处， $A A^{'}$ 被 $l$ 垂直平分， $P$ 到 $A$ 、 $A^{'}$ 的距离永远相等

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。