Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

轴对称与路径 / 辅助线实验室

辅助线进度 3 / 3

② 第 3 步：连接 PM、PN，并算 P₁P₂3 / 3

连接

P M

、

P N

后，由对称得

P M = P_{1} M

、

P N = P_{2} N

，于是周长等于

P_{1} P_{2}

。又

∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B

，

O P_{1} = O P_{2} = O P

，所以在等腰

△ P_{1} O P_{2}

中可以算出

P_{1} P_{2} = 2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B

。→ 把“最小值”具体化为可计算的线段长，得到

2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂
过 $P$ 作 $O A$ 的垂线并延长一倍得到 $P_{1}$ ，同样得到 $P_{2}$ 。图中 $O P_{1} = O P = O P_{2}$ ，且 $O A$ 垂直平分 $P P_{1}$ 、 $O B$ 垂直平分 $P P_{2}$ 。
→ 得到 $P M = P_{1} M$ 、 $P N = P_{2} N$ ，把三条边的和转化为从 $P_{1}$ 出发、经 $M$ 、 $N$ 到 $P_{2}$ 的折线
2连接 P₁P₂，与 OA、OB 分别交于 M、N
连接 $P_{1} P_{2}$ ，它与 $O A$ 的交点就是 $M$ ，与 $O B$ 的交点就是 $N$ 。图中 $P M = P_{1} M$ 、 $P N = P_{2} N$ 已用等长标记标出。
→ 折线被拉直， $P_{1} M + M N + N P_{2} = P_{1} P_{2}$ ；由两点之间线段最短，这就是最小值
3连接 PM、PN，并算 P₁P₂
连接 $P M$ 、 $P N$ 后，由对称得 $P M = P_{1} M$ 、 $P N = P_{2} N$ ，于是周长等于 $P_{1} P_{2}$ 。又 $∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B$ ， $O P_{1} = O P_{2} = O P$ ，所以在等腰 $△ P_{1} O P_{2}$ 中可以算出 $P_{1} P_{2} = 2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B$ 。
→ 把“最小值”具体化为可计算的线段长，得到 $2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B$

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

线段最短路径转化模型

周长 PM + MN + NP 里有两个动点，直接求最值无从下手。但 M 在 OA 上，把 P 关于 OA 对称过去，PM 就换成了等长的 P₁M，动点 M 仍留在 OA 上；同理 P 换成 P₂。于是“从 P 出发绕一圈回来”变成“从 P₁ 出发经过 M、N 到 P₂”。折线的两个拐点都落在定直线上，当整条折线被拉直成线段 P₁P₂ 时最短。两次对称的作用，是把“两个动点”的问题化成“一条线段”的问题——这正是最短路径题的通用思想：对称负责搬运端点，线段最短负责给出答案。

NEW RELATIONS

$P M = P_{1} M$ ， $P N = P_{2} N$ ， $O P = O P_{1} = O P_{2}$
$△ P M N$ 周长的最小值 $= P_{1} P_{2}$
$∠ P_{1} O P_{2} = 2∠ A O B$ ，所以 $P_{1} P_{2} = 2 \cdot O P \cdot sin ∠ A O B$
$∠ P_{1} P P_{2} = 18 0^{\circ} - ∠ A O B$ （ $P P_{1} ⊥ O A$ ， $P P_{2} ⊥ O B$ ）
取最小值时 $P_{1}$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $P_{2}$ 四点共线
将军饮马是本模型退化为一个动点（只有 M）时的特例

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。