角平分线八年级上

角平分线基本性质模型

又称：角平分线定理、点到角两边距离相等

角平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

难度入门考试权重 6 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

角平分线，两垂足；距离相等不用数。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1过 P 向角的两边作垂线：过

P

作

P D ⊥ O A

于

D

，

P E ⊥ O B

于

E

，标出两个直角符号。

P D

、

P E

就是点

P

到角两边的距离。→ 得到两个直角三角形

△ O P D

与

△ O P E

，它们有公共斜边

O P

STEP 2证全等，读出距离相等：在

△ O P D

与

△ O P E

中，

∠ O D P = ∠ O E P = 9 0^{\circ}

，

∠ D O P = ∠ E O P

，

O P = O P

，所以

△ O P D ≅ △ O P E

（AAS）。于是

P D = P E

、

O D = O E

、

∠ O P D = ∠ O P E

。→

P D = P E

，且

O D = O E

、

O P

也平分

∠ D P E

模型的基本定义

如图，

O P

平分

∠ A O B

（即

∠ A O P = ∠ B O P

），

P

是

O P

上一点，过

P

作

P D ⊥ O A

于

D

、

P E ⊥ O B

于

E

，则

P D = P E

。这里的“距离”指点到直线的垂线段长度，不是

P

到顶点

O

的距离，也不是任意一条连线。逆定理同样成立：若点

P

在

∠ A O B

内部，且到

O A

、

O B

的距离相等，则

P

在

∠ A O B

的平分线上。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1已知一条射线是某个角的平分线，或要证明某条射线是角平分线
2在角平分线上取了一点 $P$ （可在角内部，也可在角的一边上）
3需要点 $P$ 到角两边的距离，即两条垂线段的长度
4题目出现“到两边距离相等”“求距离”“角平分线上的点”等说法
5图中只有一条垂线，提示补作另一条垂线

常见触发关键词

角平分线到两边距离作垂线两个垂足距离相等逆定理

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
过 P 向角的两边作垂线
过 $P$ 作 $P D ⊥ O A$ 于 $D$ ， $P E ⊥ O B$ 于 $E$ ，标出两个直角符号。 $P D$ 、 $P E$ 就是点 $P$ 到角两边的距离。
得到得到两个直角三角形 $△ O P D$ 与 $△ O P E$ ，它们有公共斜边 $O P$
STEP 2
证全等，读出距离相等
在 $△ O P D$ 与 $△ O P E$ 中， $∠ O D P = ∠ O E P = 9 0^{\circ}$ ， $∠ D O P = ∠ E O P$ ， $O P = O P$ ，所以 $△ O P D ≅ △ O P E$ （AAS）。于是 $P D = P E$ 、 $O D = O E$ 、 $∠ O P D = ∠ O P E$ 。
得到 $P D = P E$ ，且 $O D = O E$ 、 $O P$ 也平分 $∠ D P E$

为什么这样添加辅助线

角平分线只给出“两个角相等”，角相等本身不能直接变成线段相等。作垂线把角变成直角，就造出一对有公共斜边 OP 的直角三角形：一个角相等、一个直角、一条公共边，AAS 正好够用，距离相等就成了“对应边相等”。这也是后面所有角平分线模型（垂线、翻折、截长补短）共同的起点，所以必须练到条件反射：见到角平分线上的点，先想两条垂线。

添加辅助线后产生的新关系

$P D = P E$ （角平分线上的点到角两边距离相等）
$O D = O E$ （两个垂足到顶点距离相等）
$∠ O P D = ∠ O P E$ ，即 $O P$ 平分 $∠ D P E$
$△ O P D ≅ △ O P E$ （AAS）
四边形 $O D P E$ 中， $∠ A O B + ∠ D P E = 18 0^{\circ}$ （两个直角占了 $18 0^{\circ}$ ）
逆定理：若 $P D = P E$ 且 $P D ⊥ O A$ 、 $P E ⊥ O B$ ，则 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上

能使用哪些定理和性质

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的判定（逆定理）：到角两边距离相等的点在角的平分线上全等三角形判定 AAS 与 HL点到直线的距离的定义

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

O P

平分

∠ A O B

，

P D ⊥ O A

于

D

，

P E ⊥ O B

于

E

，求证

P D = P E

。

1 $∠ D O P = ∠ E O P$
依据 $O P$ 平分 $∠ A O B$
2 $∠ O D P = ∠ O E P = 9 0^{\circ}$
依据 $P D ⊥ O A$ ， $P E ⊥ O B$ ，垂直的定义
3 $O P = O P$
依据公共边
4 $△ O P D ≅ △ O P E$
依据AAS： $∠ D O P = ∠ E O P$ ， $∠ O D P = ∠ O E P$ ， $O P = O P$
5 $P D = P E$
依据全等三角形的对应边相等
6 $O D = O E$ ， $∠ O P D = ∠ O P E$
依据全等三角形的对应边、对应角相等

补充说明

“距离”必须是垂线段。图中若随便连一条

P A

，一般与

P E

不相等。逆定理使用时要点明“点

P

在角的内部”，否则到两边距离相等的点也可能落在邻补角的平分线上。

典型例题

题目如图，

O P

平分

∠ A O B

，

P

到

O A

的距离为

3

，

O D = 4

。求

P E

与

O P

的长。已知：

O P

平分

∠ A O B

，

P D ⊥ O A

，

P E ⊥ O B

，

P D = 3

，

O D = 4

。

解答

1 $P D = 3$
依据点到直线的距离就是垂线段 $P D$ 的长
2 $△ O P D ≅ △ O P E$
依据AAS： $∠ D O P = ∠ E O P$ ， $∠ O D P = ∠ O E P = 9 0^{\circ}$ ， $O P$ 公共
3 $P E = P D = 3$
依据全等三角形的对应边相等
4 $O P = O D^{2} + P D^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 5$
依据在 $R t △ O P D$ 中用勾股定理

结论与点评

P E = 3

，

O P = 5

。注意不能由“

O P

平分角”直接说“

O P

上任意一点到两边的连线都相等”，相等的是两条垂线段。

常见变式

变式 1逆定理型

已知

P

到

O A

、

O B

的距离相等，求证

O P

平分

∠ A O B

：作两条垂线后用 HL（

O P

公共、

P D = P E

）得

△ O P D ≅ △ O P E

，从而

∠ D O P = ∠ E O P

。

变式 2面积转化型

P

在角平分线上时，

S_{△ O P A} : S_{△ O P B} = O A : O B

，因为两个三角形的高都是

P D = P E

，可直接用“同高面积比等于底之比”。

变式 3网格与坐标型

在网格中判断一条射线是否平分角：取射线上一点，数它到两边的格数是否相等，本质仍是“距离相等”。

变式 4与平行线联动

角平分线上的点再作一边的平行线，可把“距离相等”升级成“等腰三角形”，见“角平分线与平行线模型”。

易错点

!把“到角两边的距离”错当成“到顶点 $O$ 的距离”。
!只作一条垂线就下结论，缺少另一条垂线和全等依据， $P D = P E$ 没有来源。
!逆定理漏写“点在角内部”，导致把邻补角平分线上的点也算进来。
!两个直角三角形全等写成 SSA；有直角时应写 AAS 或 HL。

关联模型

角平分线

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

过 P 向角的两边作垂线

证全等，读出距离相等

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

角平分线垂线模型

角平分线与平行线模型

角平分线翻折模型

基础轴对称模型