Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

角平分线 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：证全等，读出距离相等2 / 2

在

△ O P D

与

△ O P E

中，

∠ O D P = ∠ O E P = 9 0^{\circ}

，

∠ D O P = ∠ E O P

，

O P = O P

，所以

△ O P D ≅ △ O P E

（AAS）。于是

P D = P E

、

O D = O E

、

∠ O P D = ∠ O P E

。→

P D = P E

，且

O D = O E

、

O P

也平分

∠ D P E

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1过 P 向角的两边作垂线
过 $P$ 作 $P D ⊥ O A$ 于 $D$ ， $P E ⊥ O B$ 于 $E$ ，标出两个直角符号。 $P D$ 、 $P E$ 就是点 $P$ 到角两边的距离。
→ 得到两个直角三角形 $△ O P D$ 与 $△ O P E$ ，它们有公共斜边 $O P$
2证全等，读出距离相等
在 $△ O P D$ 与 $△ O P E$ 中， $∠ O D P = ∠ O E P = 9 0^{\circ}$ ， $∠ D O P = ∠ E O P$ ， $O P = O P$ ，所以 $△ O P D ≅ △ O P E$ （AAS）。于是 $P D = P E$ 、 $O D = O E$ 、 $∠ O P D = ∠ O P E$ 。
→ $P D = P E$ ，且 $O D = O E$ 、 $O P$ 也平分 $∠ D P E$

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

角平分线基本性质模型

角平分线只给出“两个角相等”，角相等本身不能直接变成线段相等。作垂线把角变成直角，就造出一对有公共斜边 OP 的直角三角形：一个角相等、一个直角、一条公共边，AAS 正好够用，距离相等就成了“对应边相等”。这也是后面所有角平分线模型（垂线、翻折、截长补短）共同的起点，所以必须练到条件反射：见到角平分线上的点，先想两条垂线。

NEW RELATIONS

$P D = P E$ （角平分线上的点到角两边距离相等）
$O D = O E$ （两个垂足到顶点距离相等）
$∠ O P D = ∠ O P E$ ，即 $O P$ 平分 $∠ D P E$
$△ O P D ≅ △ O P E$ （AAS）
四边形 $O D P E$ 中， $∠ A O B + ∠ D P E = 18 0^{\circ}$ （两个直角占了 $18 0^{\circ}$ ）
逆定理：若 $P D = P E$ 且 $P D ⊥ O A$ 、 $P E ⊥ O B$ ，则 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。