Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

轴对称与路径 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：由等长标记读出“折痕垂直平分 BF”2 / 2

图中

A B = A F

、

E B = E F

，说明

A

、

E

到

B

、

F

的距离分别相等，所以

A

、

E

都在

B F

的垂直平分线上，折痕

A E

就是

B F

的垂直平分线。→ 得到“折痕垂直平分对应点连线”这一通用结论，也解释了为什么折叠后

∠ A F E = 9 0^{\circ}

仍然成立

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1连接对应点与折痕端点（连 AF、EF、BE）
折叠后 $B$ 与 $F$ 重合，连接 $A F$ 、 $E F$ 。图中 $A B = A F$ 、 $B E = E F$ ， $F$ 处的直角表示 $A F ⊥ E F$ ； $B E$ 是原图中已有的边。
→ 得到 $△ A B E ≅ △ A F E$ ，把“折叠”这个动作翻译成全等关系
2由等长标记读出“折痕垂直平分 BF”
图中 $A B = A F$ 、 $E B = E F$ ，说明 $A$ 、 $E$ 到 $B$ 、 $F$ 的距离分别相等，所以 $A$ 、 $E$ 都在 $B F$ 的垂直平分线上，折痕 $A E$ 就是 $B F$ 的垂直平分线。
→ 得到“折痕垂直平分对应点连线”这一通用结论，也解释了为什么折叠后 $∠ A F E = 9 0^{\circ}$ 仍然成立

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

翻折模型

折叠问题的条件总以“动作”的形式给出：沿 AE 折过去，B 落在 F。这个动作本身没法直接算，必须先把它变成“图形关系”。画出折叠后的 △AFE 后，它与 △ABE 共用折痕 AE：AB 折成 AF，BE 折成 FE，∠B 折成 ∠AFE，于是全等成立。再把 AB = AF、EB = EF 两组合并看，A、E 到 B、F 距离相等，正好是垂直平分线的判定，折痕与 BF 的垂直关系也就出来了。折叠题的通用套路是：先补画折后的图形，再从全等里取长度和 90° 角，最后用勾股定理（或设未知数）列方程。

NEW RELATIONS

$△ A B E ≅ △ A F E$ ， $A B = A F$ ， $B E = E F$
$∠ A F E = ∠ B = 9 0^{\circ}$ （正方形中 $∠ B = 9 0^{\circ}$ ）
折痕 $A E$ 垂直平分 $B F$
$∠ B A E = ∠ E A F$ ， $∠ A E B = ∠ A E F$ ，即折痕平分 $∠ B A F$ 与 $∠ B E F$
若正方形边长为 $a$ 、 $B E = x$ ，则 $A F = a$ 、 $E F = x$ 、 $E C = a - x$ ， $A E = a^{2} + x^{2}$
$B F = \frac{2 a x}{a ^{2} + x ^{2}}$ （由 $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} a x = \frac{1}{4} \cdot A E \cdot B F$ 得到）

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。