等腰与等边八年级上

等腰三角形三线合一模型

又称：三线合一

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；知道其中一条，就能推出另外两条。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

等腰三角形，顶角一条线；平分、中线、高，三线合成一。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1画出经过顶角 A 的这条线：题中给的是中线，就取

B C

中点

D

；给的是高，就作

A D ⊥ B C

；给的是角平分线，就作

∠ A

的平分线交

B C

于

D

。→ 得到

△ A B D

与

△ A C D

STEP 2用 SSS 或 SAS 证全等：

A B = A C

，

B D = C D

，

A D

公共 ⇒ SSS；若已知

A D

平分

∠ A

，则

A B = A C

、

∠ B A D = ∠ C A D

、

A D

公共 ⇒ SAS。→

∠ B A D = ∠ C A D

、

B D = C D

、

∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}

，三线合一全部到手

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

A B = A C

，

A D

是顶角

∠ B A C

的平分线（

D

在

B C

上），则

A D

也是底边

B C

的中线和高：

B D = C D

，

A D ⊥ B C

。反过来也成立：若

A B = A C

且

A D

是底边中线，则

A D

平分顶角且垂直底边；若

A B = A C

且

A D ⊥ B C

，则

A D

平分顶角且平分底边。注意前提是“等腰三角形 + 经过顶角顶点的那条线”，不是任意三条线都能重合。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1已知三角形是等腰三角形（ $A B = A C$ ）
2有一条线经过顶角顶点并落在底边上
3这条线是角平分线、中线、高三者之一
4要证另外两条（垂直、平分、中点）
5题目出现“等腰 + 中点/垂直/角平分”的组合

常见触发关键词

等腰三角形三线合一顶角平分线底边中线底边高互相重合

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
画出经过顶角 A 的这条线
题中给的是中线，就取 $B C$ 中点 $D$ ；给的是高，就作 $A D ⊥ B C$ ；给的是角平分线，就作 $∠ A$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ 。
得到得到 $△ A B D$ 与 $△ A C D$
STEP 2
用 SSS 或 SAS 证全等
$A B = A C$ ， $B D = C D$ ， $A D$ 公共 ⇒ SSS；若已知 $A D$ 平分 $∠ A$ ，则 $A B = A C$ 、 $∠ B A D = ∠ C A D$ 、 $A D$ 公共 ⇒ SAS。
得到 $∠ B A D = ∠ C A D$ 、 $B D = C D$ 、 $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ ，三线合一全部到手

为什么这样添加辅助线

三线合一的本质是“等腰三角形关于顶角平分线对称”。把这条线画出来，两个三角形就具备 SSS 或 SAS 的条件，全等一证，三个结论（角相等、边相等、垂直）同时到手。反过来，如果题目给的是中线或高，也能用它反推出“这条线是角平分线”，所以它是等腰三角形里最强的“多功能条件”。

添加辅助线后产生的新关系

若 $A B = A C$ 且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $B D = C D$ ， $A D ⊥ B C$
若 $A B = A C$ 且 $B D = C D$ ，则 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $A D ⊥ B C$
若 $A B = A C$ 且 $A D ⊥ B C$ ，则 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B D = C D$
$△ A B D ≅ △ A C D$
$∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$
等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线

能使用哪些定理和性质

等腰三角形三线合一全等三角形判定 SSS、SAS线段中点的定义、垂直的定义等腰三角形两底角相等

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B = A C

，

D

是

B C

中点，求证

A D

平分

∠ B A C

且

A D ⊥ B C

。

1 $B D = C D$
依据 $D$ 是 $B C$ 的中点
2 $A B = A C$
依据已知
3 $A D = A D$
依据公共边
4 $△ A B D ≅ △ A C D$
依据SSS
5 $∠ B A D = ∠ C A D$ ，即 $A D$ 平分 $∠ B A C$
依据全等三角形的对应角相等
6 $∠ A D B = ∠ A D C$
依据全等三角形的对应角相等
7 $∠ A D B + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ ，故 $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ ，即 $A D ⊥ B C$
依据平角与等量代换

补充说明

三种推出关系的条件和结论要一一对应；没有 AB=AC 这个前提就不能用三线合一。等边三角形是特例：任意一边上的中线、高、对角的平分线都重合。

典型例题

题目如图，

A B = A C

，

D

是

B C

中点，

B C = 10

，

A D = 12

。求

A B

与

△ A B C

的面积。已知：

A B = A C

，

D

为

B C

中点，

B C = 10

，

A D = 12

。

解答

1 $B D = C D = 5$
依据中点定义
2 $A D ⊥ B C$
依据三线合一（等腰 + 中线）
3 $A B = A D^{2} + B D^{2} = 144 + 25 = 13$
依据勾股定理
4 $A C = A B = 13$
依据等腰三角形的两腰相等
5 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \times B C \times A D = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$
依据三角形面积公式

结论与点评

A B = A C = 13

，

S_{△ A B C} = 60

（周长

36

）。

常见变式

变式 1给高证中点

已知

A B = A C

，

A D p er pB C

，求证

B D = C D

：用 HL 或 SAS 证全等，再读对应边。

变式 2给角平分线证中点

已知

A B = A C

，

A D

平分

an g l e B A C

，求证

B D = C D

：SAS 证

t r ian g l e A B D co n g t r ian g l e A C D

。

变式 3等边三角形中的三线合一

等边三角形每条边上的中线、高、对角的平分线都重合，可以任取一条使用。

变式 4接垂直平分线

三线合一说明

A D

是

B C

的垂直平分线，于是

A D

上任意一点到

B

、

C

距离相等。

易错点

!没有 $A B = A C$ 这个前提就直接用三线合一。
!把“三线合一”理解成“任意三角形的三条特殊线都重合”。
!对应关系写错：题目给的是中线，却把它当成要证的结论（应该去证垂直与平分）。
!只证了垂直、忘了证平分（或反之），结论不完整。

关联模型

等腰三角形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

画出经过顶角 A 的这条线

用 SSS 或 SAS 证全等

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

等腰三角形性质模型

等腰三角形判定模型

角平分线与等腰三角形模型

基础轴对称模型