等腰与等边八年级上

等腰三角形性质模型

又称：等边对等角、等腰三角形两底角相等

等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等；顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。

难度入门考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

等边对等角，两底角永远相等。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1取底边中点，连接 AD：取

B C

中点

D

，连接

A D

（相当于画出了对称轴）。也可以作

∠ A

的平分线或

B C

的垂线，效果相同。→ 把等腰三角形分成

△ A B D

与

△ A C D

STEP 2用 SSS 证全等：

A B = A C

，

B D = C D

（中点），

A D

公共，所以

△ A B D ≅ △ A C D

。→

∠ B = ∠ C

，且

∠ B A D = ∠ C A D

、

∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

A B = A C

，则

∠ B = ∠ C

（等边对等角），且

∠ B = ∠ C = \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A}{2}

。若

D

是

B C

的中点，则

A D

平分

∠ B A C

且

A D ⊥ B C

——这就是三线合一。反过来，已知两个底角相等，也能判定它是等腰三角形。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1三角形中有两条边相等，或已说明是等腰三角形
2要证两个角相等，或已知一个角求另外两个角
3题目出现“腰”“底边”“顶角”“底角”等词
4图形关于某条直线对称
5需要把“边相等”转化为“角相等”

常见触发关键词

等腰三角形两边相等底角顶角等边对等角对称

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
取底边中点，连接 AD
取 $B C$ 中点 $D$ ，连接 $A D$ （相当于画出了对称轴）。也可以作 $∠ A$ 的平分线或 $B C$ 的垂线，效果相同。
得到把等腰三角形分成 $△ A B D$ 与 $△ A C D$
STEP 2
用 SSS 证全等
$A B = A C$ ， $B D = C D$ （中点）， $A D$ 公共，所以 $△ A B D ≅ △ A C D$ 。
得到 $∠ B = ∠ C$ ，且 $∠ B A D = ∠ C A D$ 、 $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$

为什么这样添加辅助线

等腰三角形本身是轴对称图形，但“轴对称”在八年级上册还不能直接当定理用。作底边中线 AD，等于把对称轴画出来：两个三角形三边分别相等（SSS），对应角自然相等。这条辅助线一次给出三个结论——底角相等、顶角被平分、底边被垂直，所以它既是性质证明的入口，也是三线合一的原型。

添加辅助线后产生的新关系

$∠ B = ∠ C$
$∠ B = ∠ C = \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A}{2}$ ， $∠ A = 18 0^{\circ} - 2∠ B$
$△ A B D ≅ △ A C D$ （SSS）
$∠ B A D = ∠ C A D$ ， $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$
若顶角为 $6 0^{\circ}$ ，则它是等边三角形
若底角为 $6 0^{\circ}$ ，则它是等边三角形

能使用哪些定理和性质

等腰三角形的性质：等边对等角等腰三角形三线合一全等三角形判定 SSS三角形内角和定理轴对称的性质

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B = A C

，

D

是

B C

中点，求证

∠ B = ∠ C

，且

A D ⊥ B C

、

A D

平分

∠ B A C

。

1 $B D = C D$
依据 $D$ 是 $B C$ 的中点
2 $A B = A C$
依据已知
3 $A D = A D$
依据公共边
4 $△ A B D ≅ △ A C D$
依据SSS
5 $∠ B = ∠ C$
依据全等三角形的对应角相等
6 $∠ B A D = ∠ C A D$
依据对应角相等，即 $A D$ 平分 $∠ B A C$
7 $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$
依据对应角相等，且 $∠ A D B + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ （平角）

补充说明

“等边对等角”是性质，“等角对等边”是判定，两者方向相反，不能混用。

典型例题

题目已知

A B = A C

，

∠ A = 4 0^{\circ}

，

D

是

B C

的中点。求

∠ B

、

∠ C

、

∠ B A D

与

∠ A D B

。已知：

A B = A C

，

∠ A = 4 0^{\circ}

，

D

为

B C

中点。

解答

1 $∠ B = ∠ C$
依据等边对等角
2 $∠ B = ∠ C = \frac{18 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$
依据三角形内角和
3 $∠ B A D = \frac{1}{2} ∠ A = 2 0^{\circ}$
依据三线合一： $A D$ 平分顶角
4 $∠ A D B = 9 0^{\circ}$
依据三线合一： $A D ⊥ B C$

结论与点评

∠ B = ∠ C = 7 0^{\circ}

，

∠ B A D = 2 0^{\circ}

，

∠ A D B = 9 0^{\circ}

。

常见变式

变式 1已知底角求顶角

若

∠ B = ∠ C = 6 5^{\circ}

，则

∠ A = 18 0^{\circ} - 2 \times 6 5^{\circ} = 5 0^{\circ}

。

变式 2等腰 + 外角

顶角处的外角等于两个底角之和，即

18 0^{\circ} - ∠ A = 2∠ B

，可快速求底角。

变式 3等腰 + 高/中线/角平分线

任给其中一条，都可由三线合一推出另外两条，是后面三线合一模型的基础。

变式 4等腰直角三角形

顶角为

9 0^{\circ}

时，两个底角都是

4 5^{\circ}

，两条直角边相等，见“

4 5^{\circ}

构造等腰直角三角形”。

易错点

!分不清顶角与底角： $A B = A C$ 时 $∠ A$ 是顶角， $∠ B$ 、 $∠ C$ 是底角。
!把“等边对等角”与“等角对等边”写反（性质与判定混淆）。
!用“等腰三角形底角相等”时不写依据，直接报答案。
!已知两边相等却没说清是哪两条边，导致对应角找错。

关联模型

等腰三角形