等腰与等边八年级上

等腰三角形判定模型

又称：等角对等边、两角相等判等腰

一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

等角对等边，作高造全等。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1过顶角顶点作底边的垂线：过

A

作

A D ⊥ B C

于

D

。也可以作

∠ A

的平分线交

B C

于

D

，两种作法都能造出两个三角形。→ 得到

∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}

，以及公共边

A D

STEP 2用 AAS 证全等：

∠ B = ∠ C

，

∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}

，

A D

公共，所以

△ A B D ≅ △ A C D

。→

A B = A C

，同时

B D = C D

、

∠ B A D = ∠ C A D

（顺带得到三线合一）

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

∠ B = ∠ C

，则

A B = A C

。证明时作顶角平分线或底边上的高，把三角形分成两个全等三角形：以作

A D ⊥ B C

于

D

为例，

∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}

，

∠ B = ∠ C

，

A D

公共，由 AAS 得

△ A B D ≅ △ A C D

，所以

A B = A C

，同时得到

B D = C D

、

∠ B A D = ∠ C A D

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1一个三角形中有两个角相等
2要证两条边相等，或要证三角形是等腰三角形
3图形中出现“角相等”但边的关系未知
4需要把“角相等”转化为“边相等”
5常在倒角之后使用：算出 $∠ B = ∠ C$

常见触发关键词

两个角相等等角对等边证等腰作高AAS

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
过顶角顶点作底边的垂线
过 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 于 $D$ 。也可以作 $∠ A$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ，两种作法都能造出两个三角形。
得到得到 $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ ，以及公共边 $A D$
STEP 2
用 AAS 证全等
$∠ B = ∠ C$ ， $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ ， $A D$ 公共，所以 $△ A B D ≅ △ A C D$ 。
得到 $A B = A C$ ，同时 $B D = C D$ 、 $∠ B A D = ∠ C A D$ （顺带得到三线合一）

为什么这样添加辅助线

已知的是“角相等”，要证的是“边相等”，中间必须有一座桥——全等。作高（或角平分线）把三角形分成两个，它们已经有两个角相等和一条公共边，AAS 正好够用，于是对应边 AB、AC 相等。选高而不用中线，是因为高能直接提供现成的 90° 等角，最省条件；若题目已给角平分线，则改用 ASA 更顺。

添加辅助线后产生的新关系

$A B = A C$
$△ A B D ≅ △ A C D$ （AAS）
$B D = C D$ ， $∠ B A D = ∠ C A D$
若再知任一角为 $6 0^{\circ}$ ，则为等边三角形
三线合一（由全等顺带得到）

能使用哪些定理和性质

等腰三角形的判定：等角对等边全等三角形判定 AAS 与 ASA三角形内角和定理等腰三角形三线合一

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

∠ B = ∠ C

，求证

A B = A C

。

1作 $A D ⊥ B C$ 于 $D$
依据辅助线
2 $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$
依据垂直的定义
3 $∠ B = ∠ C$
依据已知
4 $A D = A D$
依据公共边
5 $△ A B D ≅ △ A C D$
依据AAS
6 $A B = A C$
依据全等三角形的对应边相等
7 $B D = C D$ ， $∠ B A D = ∠ C A D$
依据对应边、对应角相等（顺带得到三线合一）

补充说明

若作顶角平分线

A D

，则用 ASA 更顺：

∠ B A D = ∠ C A D

，

A D

公共，

∠ B = ∠ C

。两种作法都对，但不要写成 SSA。

典型例题

题目如图，

△ A B C

中

∠ B = ∠ C = 4 5^{\circ}

，

B C = 8

，

A D ⊥ B C

于

D

。求

∠ A

、

B D

、

A D

与

A B

。已知：

∠ B = ∠ C = 4 5^{\circ}

，

B C = 8

，

A D ⊥ B C

。

解答

1 $∠ A = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$
依据三角形内角和
2 $A B = A C$
依据等角对等边
3 $B D = C D = 4$
依据等腰三角形三线合一（ $A D ⊥ B C$ ）
4 $∠ B A D = 4 5^{\circ}$
依据直角三角形两锐角互余
5 $A D = B D = 4$
依据等角对等边
6 $A B = A D^{2} + B D^{2} = 16 + 16 = 42$
依据勾股定理

结论与点评

∠ A = 9 0^{\circ}

，

B D = 4

，

A D = 4

，

A B = A C = 42

。

常见变式

变式 1倒角后判等腰

已知

∠ A = 7 0^{\circ}

，

∠ B = 5 5^{\circ}

，则

∠ C = 5 5^{\circ} = ∠ B

，所以

A B = A C

。

变式 2作顶角平分线用 ASA

当题目已给角平分线时，用 ASA 比 AAS 更直接：

∠ B A D = ∠ C A D

，

A D

公共，

∠ B = ∠ C

。

变式 3与性质互逆

把条件和结论对调，就是“等边对等角”；做题时要先判断是“已知边证角”还是“已知角证边”。

变式 4等腰 + 60°

判定出等腰后，若再有一个角是

6 0^{\circ}

，可进一步判定为等边三角形。

易错点

!把判定（等角对等边）与性质（等边对等角）混用。
!作完辅助线不写全等依据，直接写 $A B = A C$ 。
!两个全等三角形写成 SSA；这里应写 AAS 或 ASA。
!相等的两个角必须是同一个三角形的内角，不能拿外角当内角。

关联模型

等腰三角形