全等与旋转八年级上

脚拉脚模型

又称：共底边等腰模型

两个等腰三角形共用一条底边，连接两个顶角，得到一对全等三角形，并且连线垂直平分公共底边。

难度入门考试权重 4 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

两等腰、共底边；连两顶角，垂直平分底边。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接两个顶角：连接

C D

，设

C D

与

A B

交于点

M

。→ 把分散的两个等腰三角形组成一对全等三角形

△ A C D

与

△ B C D

STEP 2标记交点与直角：由全等得

∠ A C D = ∠ B C D

，再在等腰

△ C A B

中用三线合一，得

C M ⊥ A B

且

M

是

A B

中点。→ 得到

C D

垂直平分

A B

，同时

C D

平分

∠ A C B

与

∠ A D B

模型的基本定义

如图，

C A = C B

，

D A = D B

，即

△ A B C

与

△ A B D

都是等腰三角形，公共底边为

A B

。连接两顶角

C

、

D

，则

△ A C D ≅ △ B C D

，且直线

C D

垂直平分

A B

。不同资料对“脚拉脚”的叫法略有差异，本卡片采用“两个等腰三角形共底边”的标准构型；它的本质是“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1出现两个三角形共用同一条底边，且两组腰分别相等
2已知一点到一条线段两端距离相等
3要证一条直线垂直平分某条线段
4要证一个点在某条线段的垂直平分线上

常见触发关键词

共底边$CA=CB$$DA=DB$到两端距离相等两个等腰三角形垂直平分线

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接两个顶角
连接 $C D$ ，设 $C D$ 与 $A B$ 交于点 $M$ 。
得到把分散的两个等腰三角形组成一对全等三角形 $△ A C D$ 与 $△ B C D$
STEP 2
标记交点与直角
由全等得 $∠ A C D = ∠ B C D$ ，再在等腰 $△ C A B$ 中用三线合一，得 $C M ⊥ A B$ 且 $M$ 是 $A B$ 中点。
得到得到 $C D$ 垂直平分 $A B$ ，同时 $C D$ 平分 $∠ A C B$ 与 $∠ A D B$

为什么这样添加辅助线

两个等腰三角形各自只能提供“两条腰相等”，把它们连起来才出现公共边

C D

。

C D

是两对相等线段的“桥梁”，于是可用 SSS 得到全等；全等又给出角平分线，再用等腰三角形三线合一得到垂直与中点。辅助线的目的就是制造一条公共边，把两组分散的相等关系接到一起。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A C D ≅ △ B C D$ （SSS）
$∠ A C D = ∠ B C D$ ， $∠ A D C = ∠ B D C$
$C D$ 垂直平分 $A B$
$C$ 、 $D$ 都在 $A B$ 的垂直平分线上
当两个三角形都是等边三角形时，退化为“背靠背”菱形模型

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：SSS等腰三角形“三线合一”线段垂直平分线的性质与判定全等三角形对应角相等

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

C A = C B

，

D A = D B

，求证

C D

垂直平分

A B

。

1 $C A = C B$ ， $D A = D B$ ， $C D = C D$
依据已知与公共边
2 $△ A C D ≅ △ B C D$
依据SSS
3 $∠ A C D = ∠ B C D$
依据全等三角形对应角相等
4 $C D ⊥ A B$ ，且 $C D$ 平分 $A B$
依据等腰 $△ C A B$ 中，顶角平分线、底边中线、底边高互相重合（三线合一）

补充说明

也可以不连

C D

，直接引用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，但考试中写出全等过程更稳妥。

典型例题

题目如图，

C A = C B

，

D A = D B

，

∠ A C B = 4 0^{\circ}

，

∠ A D B = 10 0^{\circ}

。求

∠ C A D

与

∠ C B D

的度数。已知：两个等腰三角形共底边

A B

。

解答

1 $∠ C A B = ∠ C B A = (18 0^{\circ} - 4 0^{\circ}) \div 2 = 7 0^{\circ}$
依据等腰三角形两底角相等
2 $∠ D A B = ∠ D B A = (18 0^{\circ} - 10 0^{\circ}) \div 2 = 4 0^{\circ}$
依据等腰三角形两底角相等
3 $∠ C A D = ∠ C A B + ∠ D A B = 11 0^{\circ}$
依据角的和（ $C$ 、 $D$ 在 $A B$ 两侧）
4 $∠ C B D = ∠ C B A + ∠ D B A = 11 0^{\circ}$
依据角的和
5 $∠ C A D = ∠ C B D$
依据等量代换；这也与 $△ A C D ≅ △ B C D$ 的对应角一致

结论与点评

∠ C A D = ∠ C B D = 11 0^{\circ}

。注意：当

C

、

D

在

A B

同侧时，角的和差关系会改变，要按图形重新计算。

常见变式

变式 1等腰三角形 + 形外一点

已知

A B = A C

，

D

是形外一点且

D B = D C

，则

A D

垂直平分

B C

，且

A D

平分

∠ B A C

。

变式 2两个等边三角形共边

若

C A = C B = A B

且

D A = D B = A B

，两个等边三角形共边

A B

，退化为“背靠背”菱形模型。

变式 3同侧与异侧

两顶角在公共底边同侧或异侧，全等关系都不变，但夹角与角度的和差需要按位置讨论。

变式 4垂直平分线的判定

把“两个点都到

A

、

B

距离相等”直接翻译成“两点连线垂直平分

A B

”。

易错点

!混淆公共顶点：本模型公共的是底边，公共顶点不是顶角顶点。
!由 $C A = C B$ 、 $D A = D B$ 直接写“ $C D$ 平分 $∠ A C B$ ”而不说明全等或三线合一的依据。
!忽略 $C$ 、 $D$ 在 $A B$ 同侧还是异侧，导致角的和差写错。
!把“垂直平分”写成“垂直”，漏掉平分。

关联模型

等边三角形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接两个顶角

标记交点与直角

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

背靠背模型

倍长线段模型

基础轴对称模型

角平分线与等腰三角形模型