全等与旋转八年级上

背靠背模型

又称：共边等边三角形模型

两个等边三角形共用一条边并分居两侧，得到菱形

A C B D

，对角线互相垂直平分，且

∠ C A D = ∠ C B D = 12 0^{\circ}

。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

两个等边共一边，背靠背站；连对角线，菱形加直角。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接另一条对角线：连接

C D

，设

A B

与

C D

交于点

M

。→ 把两个等边三角形组合成菱形

A C B D

，出现对角线

C D

STEP 2标出直角与中点：由

C A = C B

、

D A = D B

，用脚拉脚模型得

C D

垂直平分

A B

。→ 得到

A M = B M

、

C M ⊥ A B

、

D M ⊥ A B

，从而

A

、

M

、

B

与

C

、

M

、

D

的垂直关系

模型的基本定义

如图，

△ A B C

与

△ A B D

都是等边三角形，共用边

A B

，且

C

、

D

在

A B

两侧。则四边形

A C B D

的四条边相等，是菱形；对角线

A B

与

C D

互相垂直平分；

∠ C A D = ∠ C B D = 12 0^{\circ}

，

∠ A C B = ∠ A D B = 6 0^{\circ}

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1两个等边三角形共用一条边
2出现“在 $A B$ 两侧分别作等边三角形”的作图语言
3要证四边形是菱形或对角线垂直
4要求 $12 0^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ 等特殊角

常见触发关键词

共边两个等边三角形菱形对角线垂直$120^\circ$背靠背

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接另一条对角线
连接 $C D$ ，设 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $M$ 。
得到把两个等边三角形组合成菱形 $A C B D$ ，出现对角线 $C D$
STEP 2
标出直角与中点
由 $C A = C B$ 、 $D A = D B$ ，用脚拉脚模型得 $C D$ 垂直平分 $A B$ 。
得到得到 $A M = B M$ 、 $C M ⊥ A B$ 、 $D M ⊥ A B$ ，从而 $A$ 、 $M$ 、 $B$ 与 $C$ 、 $M$ 、 $D$ 的垂直关系

为什么这样添加辅助线

两个等边三角形各自的信息是“三边相等、三个

6 0^{\circ}

”。连

C D

后，两个三角形共用底边，且两个顶角到

A

、

B

的距离都相等，正好构成脚拉脚模型，于是

C D

是

A B

的垂直平分线。辅助线把两个

6 0^{\circ}

拼成一个

12 0^{\circ}

，也把菱形补完整。

添加辅助线后产生的新关系

$A C = C B = B D = D A$ ，四边形 $A C B D$ 是菱形
$A B ⊥ C D$ ，且 $A B$ 与 $C D$ 互相平分
$∠ C A D = ∠ C B D = 12 0^{\circ}$
$C D = 2 C M = 3 A B$ （因为等边三角形的高为 $\frac{3}{2} A B$ ）
$∠ A C B = ∠ A D B = 6 0^{\circ}$

能使用哪些定理和性质

等边三角形三边相等、三个角都是 $60^\circ$菱形判定：四条边相等的四边形是菱形菱形对角线互相垂直平分等腰三角形三线合一

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标两个等边三角形共边

A B

，求证

A C B D

是菱形，且

∠ C A D = 12 0^{\circ}

、

C D = 3 A B

。

1 $A C = C B = A B$ ， $A D = D B = A B$
依据两个三角形都是等边三角形
2 $A C = C B = B D = D A$
依据等量代换，都等于 $A B$
3四边形 $A C B D$ 是菱形
依据四条边相等的四边形是菱形
4 $A B ⊥ C D$ 且 $A B$ 、 $C D$ 互相平分
依据菱形对角线互相垂直平分
5 $∠ C A B = 6 0^{\circ}$ ， $∠ D A B = 6 0^{\circ}$ ，且 $C$ 、 $D$ 在 $A B$ 两侧
依据等边三角形内角为 $6 0^{\circ}$
6 $∠ C A D = 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$
依据角的和
7 $C M = D M = \frac{3}{2} A B$ ， $C D = C M + D M = 3 A B$
依据等边三角形的高； $M$ 为 $A B$ 中点

补充说明

若

C

、

D

在

A B

同侧，两个等边三角形会重合或错开，不能得到菱形与

12 0^{\circ}

。题目中“两侧”的位置条件必须写出来。

典型例题

题目两个等边三角形

A B C

、

A B D

共用边

A B

，

C

、

D

在

A B

两侧，

A B = 2

。求

C D

的长与

∠ C A D

的度数。已知：共边

A B = 2

，两个等边三角形分居两侧。

解答

1 $A C = C B = B D = D A = 2$
依据等边三角形三边相等
2四边形 $A C B D$ 是菱形
依据四边相等
3设 $A B$ 与 $C D$ 交于 $M$ ，则 $M$ 是 $A B$ 中点， $A M = 1$
依据菱形对角线互相平分
4 $C M = A C^{2} - A M^{2} = 4 - 1 = 3$
依据勾股定理；同理 $D M = 3$
5 $C D = C M + D M = 23$
依据线段相加；也符合 $C D = 3 A B$
6 $∠ C A D = 12 0^{\circ}$
依据两个 $6 0^{\circ}$ 角的和

结论与点评

C D = 23

，

∠ C A D = 12 0^{\circ}

。

常见变式

变式 1等腰直角背靠背

两个等腰直角三角形共用斜边，分居两侧，得到正方形，对角线相等且互相垂直平分。

变式 2共腰背靠背

两个等边三角形共用一条腰，也形成特殊角关系，但需要重新画图分析，不能照搬

3 A B

。

变式 3求面积

菱形

A C B D

的面积

= \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D = \frac{3}{2} A B^{2}

，可用于求重叠图形面积。

变式 4与脚拉脚联动

背靠背是脚拉脚中

C A = C B = D A = D B = A B

的特例，先证菱形再用菱形性质。

易错点

!漏掉“ $C$ 、 $D$ 在 $A B$ 两侧”这一位置条件，或默认两侧。
!把菱形写成 $A B C D$ ：四边形顶点顺序应为 $A$ 、 $C$ 、 $B$ 、 $D$ 。
!误以为 $C D = A B$ ；实际 $C D = 3 A B$ 。
!用菱形对角线性质时不先证明四边形是菱形。

关联模型

全等

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接另一条对角线

标出直角与中点

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

脚拉脚模型

等边三角形构造模型

等腰直角三角形构造模型

基础轴对称模型