全等与旋转八年级上

一线三垂直模型

又称：K 字型模型、三垂直全等模型

同一条直线上出现三个直角顶点，且中间那个角的两边相等时，两侧的直角三角形全等，可把线段“上下互换”，得到线段的和差关系。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

一条直线三个直角，K 字一现；两侧直角三角形全等，边边互换、和差自明。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1过 $D$、$E$ 分别向直线作垂线：过

D

作

D B ⊥ l

于

B

，过

E

作

E C ⊥ l

于

C

，把

A D

、

A E

分别放进

Rt △ A B D

与

Rt △ E C A

中。→ 得到两个以

A D

、

A E

为斜边的直角三角形，

∠ A B D = ∠ E C A = 9 0^{\circ}

STEP 2用“同角的余角相等”补齐第二组角：由

∠ D A E = 9 0^{\circ}

得

∠ E A C + ∠ D A B = 9 0^{\circ}

，又

∠ A D B + ∠ D A B = 9 0^{\circ}

，所以

∠ A D B = ∠ E A C

。→

△ A B D ≅ △ E C A

（AAS），于是

A B = C E

、

B D = A C

模型的基本定义

如图，点

B

、

A

、

C

在同一条直线

l

上，

D

、

E

在

l

的同侧，

D B ⊥ l

于

B

，

E C ⊥ l

于

C

，且

∠ D A E = 9 0^{\circ}

、

A D = A E

。则

△ A B D ≅ △ E C A

，于是

A B = C E

、

B D = A C

、

B C = B D + C E

。三个直角的顶点

B

、

A

、

C

都落在直线

l

上，所以叫“一线三垂直”；图形像字母 K，也叫 K 字型。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1同一条直线上依次出现三个点，其中两个点处立有垂线
2有三个直角，且三个直角的顶点共线（ $B$ 、 $A$ 、 $C$ 在 $l$ 上）
3中间那个直角的两边相等： $∠ D A E = 9 0^{\circ}$ 且 $A D = A E$
4两个直角三角形分居中间顶点的两侧， $D$ 、 $E$ 在直线同侧
5结论形如 $B C = B D + C E$ 的线段和，或要求 $A B$ 与 $C E$ 、 $B D$ 与 $A C$ 的对应关系
6背景常是等腰直角三角形、正方形，或坐标系中斜放的直角

常见触发关键词

一线三垂直K 字型三个直角三点共线等腰直角三角形线段和差求 BC

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
过 $D$、$E$ 分别向直线作垂线
过 $D$ 作 $D B ⊥ l$ 于 $B$ ，过 $E$ 作 $E C ⊥ l$ 于 $C$ ，把 $A D$ 、 $A E$ 分别放进 $Rt △ A B D$ 与 $Rt △ E C A$ 中。
得到得到两个以 $A D$ 、 $A E$ 为斜边的直角三角形， $∠ A B D = ∠ E C A = 9 0^{\circ}$
STEP 2
用“同角的余角相等”补齐第二组角
由 $∠ D A E = 9 0^{\circ}$ 得 $∠ E A C + ∠ D A B = 9 0^{\circ}$ ，又 $∠ A D B + ∠ D A B = 9 0^{\circ}$ ，所以 $∠ A D B = ∠ E A C$ 。
得到 $△ A B D ≅ △ E C A$ （AAS），于是 $A B = C E$ 、 $B D = A C$

为什么这样添加辅助线

题目的四条线段

A B

、

B D

、

A C

、

C E

分居在直线

l

的两侧，彼此没有现成的对应关系。作垂线的作用是把

A D

、

A E

变成两个直角三角形的斜边：直角提供了第一组等角，而

∠ D A E = 9 0^{\circ}

使

∠ A D B

与

∠ E A C

成为同一个角

∠ D A B

的余角，

A D = A E

又补上对应边，三个条件正好凑成 AAS。全等之后

A B

与

C E

、

B D

与

A C

互换位置，

B C

就被自然拆成

B D + C E

。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B D ≅ △ E C A$ （AAS）
$A B = C E$ ， $B D = A C$
$B C = B A + A C = C E + B D$
$∠ A D B = ∠ E A C$ ， $∠ D A B = ∠ A E C$
$△ A D E$ 是等腰直角三角形， $∠ A D E = ∠ A E D = 4 5^{\circ}$
当 $A$ 落在 $B$ 、 $C$ 之间时 $B C = B D + C E$ ；当 $A$ 落在段外时 $B C = ∣ B D - C E ∣$

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：AAS（两角及其中一角的对边）同角的余角相等直角三角形两锐角互余等腰直角三角形的两腰相等、两个底角都是 $45^\circ$线段的和差（点在线段上时）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

B

、

A

、

C

共线，

D B ⊥ B C

，

E C ⊥ B C

，

∠ D A E = 9 0^{\circ}

，

A D = A E

。求证

△ A B D ≅ △ E C A

，并求

B C

与

B D

、

C E

的关系。

1 $∠ A B D = ∠ A C E = 9 0^{\circ}$
依据垂直的定义
2 $∠ A D B + ∠ D A B = 9 0^{\circ}$
依据直角三角形两锐角互余
3 $∠ E A C + ∠ D A B = 18 0^{\circ} - ∠ D A E = 9 0^{\circ}$
依据平角是 $18 0^{\circ}$ ，且 $B$ 、 $A$ 、 $C$ 共线
4 $∠ A D B = ∠ E A C$
依据同角（ $∠ D A B$ ）的余角相等
5 $△ A B D ≅ △ E C A$
依据AAS： $∠ A B D = ∠ E C A$ ， $∠ A D B = ∠ E A C$ ， $A D = E A$
6 $A B = C E$ ， $B D = A C$
依据全等三角形的对应边相等
7 $B C = B A + A C = C E + B D$
依据 $A$ 在 $B$ 、 $C$ 之间，线段相加

补充说明

三个直角中，中间那个角的顶点必须落在线段

B C

上（即

A

在

B

、

C

之间），才有

B C = B D + C E

；若

A

落在线段

B C

外，则

B C = ∣ B D - C E ∣

。另外

A D = A E

不能漏，只有三个直角只能得到两个直角三角形有两组角相等，判定不了全等。

典型例题

题目如图，点

B

、

A

、

C

在同一条直线上，

D B ⊥ B C

于

B

，

E C ⊥ B C

于

C

，

A D ⊥ A E

且

A D = A E

。已知

B D = 5

，

C E = 3

，求

A B

、

A C

、

B C

的长。已知：

B D = 5

，

C E = 3

，

∠ D A E = 9 0^{\circ}

，

A D = A E

。

解答

1 $∠ A B D = ∠ A C E = 9 0^{\circ}$
依据垂直的定义
2 $∠ A D B = 9 0^{\circ} - ∠ D A B$ ， $∠ E A C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - ∠ D A B = 9 0^{\circ} - ∠ D A B$
依据直角三角形两锐角互余；平角减去 $∠ D A E$
3 $∠ A D B = ∠ E A C$
依据等量代换
4 $△ A B D ≅ △ E C A$
依据AAS： $∠ A B D = ∠ E C A$ ， $∠ A D B = ∠ E A C$ ， $A D = E A$
5 $A B = C E = 3$ ， $A C = B D = 5$
依据全等三角形的对应边相等
6 $B C = B A + A C = 3 + 5 = 8$
依据 $A$ 在 $B$ 、 $C$ 之间，线段相加

结论与点评

A B = 3

，

A C = 5

，

B C = 8

。注意对应关系：

A B

对应

C E

、

B D

对应

A C

，不要写成

A B = B D

。

常见变式

变式 1大等腰直角三角形 + 过直角顶点的直线

等腰直角

△ A B C

中

∠ B A C = 9 0^{\circ}

、

A B = A C

，过

A

任作直线

l

，

B D ⊥ l

于

D

、

C E ⊥ l

于

E

，则

△ A B D ≅ △ C A E

，

B D = A E

、

A D = C E

，

D E = B D + C E

。

变式 2坐标系中的斜放直角

平面直角坐标系中，若

A D ⊥ A E

且

A D = A E

，可用

A B = C E

、

B D = A C

把“斜线段”换成“横平竖直”的线段，从而由坐标求长度。

变式 3一线三垂直求面积

由全等得

S_{△ A B D} = S_{△ E C A}

，所以

S_{△ A B D} + S_{△ A C E} = \frac{1}{2} A B \cdot B D + \frac{1}{2} A C \cdot C E = B D \cdot C E

，可用于求被直线截出的两块面积之和。

变式 4一线三等角（把直角换成一般角）

把三个

9 0^{\circ}

换成三个相等的锐角

α

，就得到一线三等角模型，此时一般只能得到两三角形有两组角对应相等，必须再加一组对应边相等才能全等。

易错点

!把三个直角的位置记错：中间那个直角必须是 $∠ D A E = 9 0^{\circ}$ ，它的顶点 $A$ 在直线 $l$ 上。
!漏掉 $A D = A E$ ，只用三个直角就写全等：两组角相等判定不了全等（SSA、AA 都不行）。
! $A$ 不在 $B$ 、 $C$ 之间时仍写 $B C = B D + C E$ ：此时应为 $B C = ∣ B D - C E ∣$ 。
!对应关系写反： $A B$ 对应 $C E$ 、 $B D$ 对应 $A C$ ，不是 $A B = B D$ 。

关联模型

全等

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

过 $D$、$E$ 分别向直线作垂线

用“同角的余角相等”补齐第二组角

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

一线三等角模型

等腰直角三角形构造模型

手拉手模型

特殊角旋转模型