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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步
STEP 1连接直角顶点与斜边中点，得 $CD$：取 中点 ，连接 。由 与三线合一得 ，；又由斜边中线定理得 。→ 得到 、、，为 SAS/ASA 备好条件
STEP 2过 $D$ 作 $DEperp DF$，交两腰于 $E$、$F$：把 与 同时减去公共部分 ，得 。→ （ASA），于是 、
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模型的基本定义
如图， 中 ，， 为斜边 的中点，连接 ；过 作 ，分别交 、 于 、。则 ，，，且 ，从而 、、、。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1出现等腰直角三角形（，）
- 2已知斜边中点，或需要取斜边中点
- 3过斜边中点有两条互相垂直的线段，分别交两直角边
- 4结论涉及两条线段相等（）或两段之和等于腰长（）
- 5需要把 、 或正方形、折叠背景转化为旋转全等
- 6需要用到“斜边中线等于斜边一半”
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常见触发关键词
等腰直角三角形斜边中点垂直45°旋转 90°线段和斜边中线
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1取 中点 ，连接 。由 与三线合一得 ，；又由斜边中线定理得 。
连接直角顶点与斜边中点，得 $CD$
得到得到 、、，为 SAS/ASA 备好条件 - STEP 2把 与 同时减去公共部分 ，得 。
过 $D$ 作 $DEperp DF$，交两腰于 $E$、$F$
得到（ASA），于是 、
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为什么这样添加辅助线
等腰直角三角形里“信息最密”的点是斜边中点：它到三个顶点距离相等，还把直角分成两个 ，因此天生适合做 旋转的中心。连 是为了得到 与两个 ；再让 ，就把现成的直角 与 对齐，两个直角同时减去公共部分 ，剩下的 与 必然相等。于是 ASA 成立， 与 成为绕 旋转 的对应线段。
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添加辅助线后产生的新关系
- ，
- （ASA）
- ，且 ， 是等腰直角三角形
- ，，
- ，
- 把 绕 旋转 恰好得到
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能使用哪些定理和性质
等腰三角形三线合一直角三角形斜边中线等于斜边的一半全等三角形判定：ASA旋转的性质：旋转前后图形全等等腰直角三角形两个锐角都是 $45^\circ$
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标已知 ，， 为 中点，、 分别在 、 上，且 。求证 ，。
- 1，，依据等腰三角形三线合一；斜边中线定理
- 2，，故依据，（同角的余角相等）
- 3依据ASA：，，
- 4，依据全等三角形的对应边相等
- 5依据等量代换与线段和
- 6 是等腰直角三角形依据 且
补充说明
也可以用旋转解释：把 绕 旋转 （方向使 落到 ）， 随之落到 ，两个三角形重合。用旋转说理时，必须交代旋转中心是 、旋转角是 。12
典型例题
题目如图，，， 为 中点，、 分别在 、 上，，，。求 、 与 的面积。已知：，，， 为斜边 中点。
解答
- 1，依据模型结论（，ASA）
- 2，，故依据等量代换；线段和
- 3在 中依据勾股定理
- 4 是等腰直角三角形，，故依据等腰直角三角形三边比为
- 5依据三角形面积公式；
结论与点评，，。其中 由 直接算出，再借“等腰直角”把它与 、 联系起来。
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常见变式
变式 1正方形中心的 90° 旋转
过正方形中心 任作两条互相垂直的直线，它们被正方形截得的两条线段相等：因为绕 旋转 时正方形与自身重合，一条直线正好落到另一条上。变式 2沿斜边翻折补成正方形
把等腰直角 沿斜边 翻折，得到正方形 ，斜边中点 就是正方形的中心， 旋转全等的结论可以直接搬进正方形里用。变式 3斜边中线的一般形式
去掉 ，只保留 与中点 ，仍有 ；但没有 与 ， 不再成立。14
易错点
- !把 当成任意一点：必须是斜边中点，否则 与 都不成立。
- !证 时只写“都是 ”，没写“同减 ”。
- !由 直接说 是等腰直角三角形，漏掉 。
- !把 写成 ：对应关系是 、，所以 、。
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