中点与线段八年级下

斜边中线模型

又称：直角三角形斜边中线定理、斜边中点连线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，于是斜边中点把直角三角形分成两个等腰三角形；反过来，若一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形。

难度入门考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

直角加斜边中点，连起来等于斜边一半。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接直角顶点与斜边中点：取

A B

的中点

D

，连接

C D

。图中

A D = D B

是已知，

C D

就是斜边上的中线；它把

Rt △ A B C

分成

△ A C D

与

△ B C D

两个三角形。→ 得到斜边中线

C D

，并出现两个以

D

为顶点的等腰三角形候选

STEP 2延长 CD 到 E，使 DE = CD，连接 AE、BE（证明用补图）：证明时把

C D

延长一倍：延长

C D

到

E

，使

D E = C D

，连接

A E

、

B E

。此时四边形

A C B E

的对角线

A B

、

C E

在

D

处互相平分。→

A C B E

是平行四边形；又

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，所以它是矩形，

C E = A B

，从而

C D = \frac{1}{2} C E = \frac{1}{2} A B

模型的基本定义

如图，

Rt △ A B C

中

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

D

是斜边

A B

的中点，连接

C D

，则

C D = \frac{1}{2} A B = A D = B D

。于是

△ A C D

、

△ B C D

都是等腰三角形，

A

、

B

、

C

三点都在以

D

为圆心、

\frac{1}{2} A B

为半径的圆上，

D

就是

Rt △ A B C

外接圆的圆心。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1出现直角三角形，并且已知（或可证）斜边的中点
2已知 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点
3要求证两条线段相等，其中一条是斜边的一半
4要求角度，需要把斜边中线转化成的等腰三角形用起来
5出现“直角三角形 + 中点 + 求长度或角度”的组合

常见触发关键词

直角三角形斜边中点斜边中线90°AB 中点三条线段相等等腰三角形

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接直角顶点与斜边中点
取 $A B$ 的中点 $D$ ，连接 $C D$ 。图中 $A D = D B$ 是已知， $C D$ 就是斜边上的中线；它把 $Rt △ A B C$ 分成 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 两个三角形。
得到得到斜边中线 $C D$ ，并出现两个以 $D$ 为顶点的等腰三角形候选
STEP 2
延长 CD 到 E，使 DE = CD，连接 AE、BE（证明用补图）
证明时把 $C D$ 延长一倍：延长 $C D$ 到 $E$ ，使 $D E = C D$ ，连接 $A E$ 、 $B E$ 。此时四边形 $A C B E$ 的对角线 $A B$ 、 $C E$ 在 $D$ 处互相平分。
得到 $A C B E$ 是平行四边形；又 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ，所以它是矩形， $C E = A B$ ，从而 $C D = \frac{1}{2} C E = \frac{1}{2} A B$

为什么这样添加辅助线

结论 CD = ½AB 里，“一半”必须有一个“整体”作对照，而图中没有等于 AB 的线段。把 CD 延长一倍得到 CE，等于把“半条”补成“整条”，再用“对角线互相平分 ⇒ 平行四边形”把 CE 与 AB 装进同一个四边形。∠ACB = 90° 使这个平行四边形成为矩形，矩形的对角线相等，CE = AB 就出现了。这一步的目的，是把“斜边的一半”转化为“某条对角线的一半”，把一个陌生的结论变成矩形性质的直接推论。

添加辅助线后产生的新关系

$C D = A D = B D = \frac{1}{2} A B$
$△ A C D$ 、 $△ B C D$ 都是等腰三角形， $∠ A = ∠ A C D$ ， $∠ B = ∠ B C D$
$∠ A C D + ∠ B C D = 9 0^{\circ}$ ， $∠ A D C + ∠ B D C = 18 0^{\circ}$
$A$ 、 $B$ 、 $C$ 在以 $D$ 为圆心、 $\frac{1}{2} A B$ 为半径的圆上（ $D$ 是外接圆圆心）
若 $∠ A = 3 0^{\circ}$ ，则 $∠ B = 6 0^{\circ}$ ， $△ B C D$ 是等边三角形
逆定理：若 $D$ 是 $A B$ 中点且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，则 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$

能使用哪些定理和性质

直角三角形斜边中线定理：斜边中线等于斜边的一半等腰三角形“等边对等角”平行四边形的判定（对角线互相平分）矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形）与性质（对角线相等）三角形内角和定理

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

Rt △ A B C

中

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

D

是

A B

的中点，求证

C D = \frac{1}{2} A B

。

1延长 $C D$ 到 $E$ ，使 $D E = C D$ ，连接 $A E$ 、 $B E$
依据作图（补图）
2 $A D = D B$ ， $C D = D E$
依据 $D$ 是 $A B$ 中点；作图
3四边形 $A C B E$ 的对角线 $A B$ 、 $C E$ 互相平分
依据对角线交于 $D$ 且分别在 $D$ 处被平分
4四边形 $A C B E$ 是平行四边形
依据对角线互相平分的四边形是平行四边形
5 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$
依据已知
6平行四边形 $A C B E$ 是矩形
依据有一个角是直角的平行四边形是矩形
7 $C E = A B$ ，所以 $C D = \frac{1}{2} C E = \frac{1}{2} A B$
依据矩形的对角线相等； $D E = C D$

补充说明

也可以只连 BE 来证：由 △ADC ≌ △BDE 得 BE = AC、BE ∥ AC，于是 ∠CBE = 90°，再证 △ABC ≌ △ECB 得 CE = AB。两条路本质相同，都要“把中线延长一倍”。注意：结论里的三个等式 CD = AD = BD 要一起记，求角度时缺一不可。

典型例题

题目如图，

Rt △ A B C

中

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

D

是

A B

的中点，

∠ A = 3 0^{\circ}

，

A B = 8

。求

C D

、

B C

的长与

∠ B C D

的度数。已知：

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

D

为

A B

中点，

∠ A = 3 0^{\circ}

，

A B = 8

。

解答

1 $C D = \frac{1}{2} A B = 4$
依据直角三角形斜边中线定理
2 $B D = 4$
依据 $D$ 是 $A B$ 中点
3 $∠ B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$
依据直角三角形两锐角互余
4 $△ B C D$ 中 $B D = C D = 4$
依据等量代换
5 $△ B C D$ 是等边三角形
依据有一个角是 $6 0^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形
6 $B C = B D = 4$ ， $∠ B C D = 6 0^{\circ}$
依据等边三角形三边相等、三个角都是 60°

结论与点评

C D = 4

，

B C = 4

，

∠ B C D = 6 0^{\circ}

。本题也可先用“

3 0^{\circ}

角所对的直角边等于斜边的一半”得

B C = 4

，再用斜边中线验证。

常见变式

变式 1已知两直角边求斜边中线

两直角边为

6

、

8

，由勾股定理得斜边

10

，斜边中线为

5

，同时

A D = B D = C D = 5

。

变式 2逆定理判定直角

已知

D

是

A B

中点且

C D = \frac{1}{2} A B

，求证

∠ A C B = 9 0^{\circ}

：把

C D

延长一倍，得矩形，再用矩形性质反推。

变式 3与等腰三角形联动

若

∠ A = 3 0^{\circ}

，则

△ B C D

是等边三角形；若

∠ A = 4 5^{\circ}

，则

∠ A D C = 9 0^{\circ}

，

△ A C D

是等腰直角三角形。

变式 4求角度

已知

∠ A = 4 0^{\circ}

，则由

C D = B D

得

∠ B C D = ∠ B = 5 0^{\circ}

，这类题的关键是把斜边中线看成一个等腰三角形的腰。

易错点

!把“斜边中线”用到非直角三角形上：必须先在直角三角形中，且中线必须连到斜边的中点。
!只记 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，忘了同时有 $A D = B D = C D$ ，导致角度推不出来。
!逆定理的条件是“一边上的中线等于该边的一半”，不是“中线垂直于该边”，也不是“有一个角是直角”。
!证明时延长了 CD，却忘记说明“对角线互相平分”，直接说 ACBE 是矩形。

关联模型

中点

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接直角顶点与斜边中点

延长 CD 到 E，使 DE = CD，连接 AE、BE（证明用补图）

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

三角形中位线模型

倍长中线模型

等腰三角形三线合一模型

等腰三角形性质模型