中点与线段八年级下

蝴蝶模型

又称：8 字全等模型、平行加中点模型

两条平行线被两条截线所截，若交点是一条截线的中点，则另一条截线也被平分，四边形成为平行四边形。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

一组平行线，一个中点；两翼全等，中点成双。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接 BD，与 AC 交于点 O：图中

A C

已连好，

B D

分成

B O

、

O D

两段画出。

O

是

A C

的中点，所以

A O = O C

；

B D

与

A C

在

O

处形成对顶角

∠ A O B = ∠ C O D

。→ 得到

△ A O B

与

△ C O D

，它们已有一组边相等（

A O = O C

）和一组对顶角

STEP 2标出两对内错角：由

A B ∥ C D

，把

A C

看作截线，得

∠ O A B = ∠ O C D

；把

B D

看作截线，得

∠ O B A = ∠ O D C

。→ 凑齐 ASA 的三个条件（

∠ O A B = ∠ O C D

、

A O = O C

、

∠ A O B = ∠ C O D

），得到

△ A O B ≅ △ C O D

模型的基本定义

如图，

A B ∥ C D

，

A C

与

B D

交于点

O

，且

O

是

A C

的中点。则由内错角相等与对顶角相等，得

△ A O B ≅ △ C O D

（ASA），于是

O B = O D

，即

O

也是

B D

的中点；又

A B = C D

且

A B ∥ C D

，所以四边形

A B C D

是平行四边形。图形上下两个三角形共顶点

O

，像蝴蝶的两翼，故称蝴蝶模型。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1有一组对边平行： $A B ∥ C D$
2两条截线（对角线） $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$
3 $O$ 是其中一条截线 $A C$ 的中点，即 $O A = O C$
4要证另一条截线被平分，或证四边形是平行四边形
5图形呈“上下两个三角形共顶点”的 8 字形状

常见触发关键词

AB ∥ CD对角线交点AC 中点8 字两个三角形共顶点证平行四边形对顶角

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接 BD，与 AC 交于点 O
图中 $A C$ 已连好， $B D$ 分成 $B O$ 、 $O D$ 两段画出。 $O$ 是 $A C$ 的中点，所以 $A O = O C$ ； $B D$ 与 $A C$ 在 $O$ 处形成对顶角 $∠ A O B = ∠ C O D$ 。
得到得到 $△ A O B$ 与 $△ C O D$ ，它们已有一组边相等（ $A O = O C$ ）和一组对顶角
STEP 2
标出两对内错角
由 $A B ∥ C D$ ，把 $A C$ 看作截线，得 $∠ O A B = ∠ O C D$ ；把 $B D$ 看作截线，得 $∠ O B A = ∠ O D C$ 。
得到凑齐 ASA 的三个条件（ $∠ O A B = ∠ O C D$ 、 $A O = O C$ 、 $∠ A O B = ∠ C O D$ ），得到 $△ A O B ≅ △ C O D$

为什么这样添加辅助线

要证 O 也是 BD 的中点，需要 OB = OD，而 OB、OD 分别在 △AOB 与 △COD 中，只有把这两个三角形“配对”，才能把 AO = OC 这条已知用上。平行线提供内错角相等，交点 O 提供对顶角相等，两个角加一条边正好是 ASA。连 BD 的目的，就是把“中点 O”放进第二个三角形里，让两个三角形在 O 处共用顶点。全等之后 OB = OD、AB = CD，再加上 AB ∥ CD，平行四边形的判定就水到渠成。所以蝴蝶模型的关键不是“8 字形状”，而是“平行 + 中点”这两条信息必须在同一个交点处汇合。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A O B ≅ △ C O D$ （ASA）
$O B = O D$ ，即 $O$ 也是 $B D$ 的中点
$A B = C D$ ，与 $A B ∥ C D$ 合起来得四边形 $A B C D$ 是平行四边形
平行四边形的两条对角线互相平分，交点 O 是它的对称中心
四个小三角形 $△ A O B$ 、 $△ B O C$ 、 $△ C O D$ 、 $△ D O A$ 面积相等，都等于平行四边形面积的 $\frac{1}{4}$
$A O : O C = 1 : 1$ ， $B O : O D = 1 : 1$

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：ASA（两角及其夹边）两直线平行，内错角相等对顶角相等平行四边形的判定（一组对边平行且相等）与性质（对角线互相平分）平行四边形的对角线把它分成四个面积相等的小三角形

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B ∥ C D

，

A C

与

B D

交于点

O

，

O A = O C

。求证

O B = O D

，且四边形

A B C D

是平行四边形。

1 $A B ∥ C D$
依据已知
2 $∠ O A B = ∠ O C D$ ， $∠ O B A = ∠ O D C$
依据两直线平行，内错角相等（AC、BD 分别作截线）
3 $∠ A O B = ∠ C O D$
依据对顶角相等
4 $O A = O C$
依据 $O$ 是 $A C$ 的中点
5 $△ A O B ≅ △ C O D$
依据ASA： $∠ O A B = ∠ O C D$ ， $O A = O C$ ， $∠ A O B = ∠ C O D$
6 $O B = O D$ ， $A B = C D$
依据全等三角形的对应边相等
7四边形 $A B C D$ 是平行四边形
依据一组对边 $A B$ 、 $C D$ 平行且相等

补充说明

若题目只给 AB ∥ CD 与 OA = OC，不能直接说“ABCD 是平行四边形”，必须先由全等得到 AB = CD。反过来，若已知 ABCD 是平行四边形，那么 O 是两条对角线的中点，这种情况不需要再证全等，可以直接用性质。判断用哪一边，就看题目给的是“平行 + 中点”还是“平行四边形”。

典型例题

题目如图，

A B ∥ C D

，

A C

与

B D

交于点

O

，

O

是

A C

的中点，

A B = 6

，

A C = 10

，

B D = 8

。求

C D

、

O B

的长，并判断四边形

A B C D

的形状。已知：

A B ∥ C D

，

O A = O C

，

A B = 6

，

A C = 10

，

B D = 8

。

解答

1 $∠ O A B = ∠ O C D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D$
依据平行线的内错角、对顶角
2 $O A = O C$
依据 $O$ 是 $A C$ 中点
3 $△ A O B ≅ △ C O D$
依据ASA
4 $C D = A B = 6$ ， $O B = O D$
依据全等三角形的对应边相等
5 $O B = \frac{1}{2} B D = 4$
依据 $O B = O D$ ， $B D = 8$
6四边形 $A B C D$ 是平行四边形
依据 $A B ∥ C D$ 且 $A B = C D$

结论与点评

C D = 6

，

O B = 4

；四边形

A B C D

是平行四边形，它的两条对角线互相平分，

O

是对称中心。

常见变式

变式 1由平行四边形反推中点

若

A B C D

是平行四边形，

A C

与

B D

交于

O

，则

O A = O C

、

O B = O D

，这时蝴蝶模型是“平行四边形的性质”，不必再证全等。

变式 2条件换成另一条对角线

若

A B ∥ C D

且

O

是

B D

的中点，同理可得

O A = O C

，结论完全对称，只是全等的对应边换了一组。

变式 3求面积

平行四边形被对角线分成四个面积相等的小三角形；若已知

S_{△ A O B} = 6

，则

S_{A B C D} = 24

。

变式 4过对称中心的直线

在平行四边形

A B C D

中，过

O

任作一条直线交

A D

于

E

、交

B C

于

F

，则

O E = O F

，这条直线被

O

平分。

易错点

!只凭“AB ∥ CD、AC 与 BD 交于 O”就说 O 是两条对角线的中点：必须有一个中点作为条件。
!把结论当条件：用 $O A = O C$ 、 $O B = O D$ 、 $∠ A O B = ∠ C O D$ 去证全等，其中 $O B = O D$ 正是要证的。
!全等对应顶点写错：应为 $△ A O B ≅ △ C O D$ （ $A$ 对 $C$ 、 $B$ 对 $D$ 、 $O$ 对 $O$ ）。
!由 AB ∥ CD 与 AB = CD 判断平行四边形时，必须说明是“同一组对边”平行且相等。

关联模型

中点

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接 BD，与 AC 交于点 O

标出两对内错角

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

中点与全等三角形构造

三角形中位线模型

8 字模型（对顶相似）

倍长线段模型