全等与旋转中点与线段八年级上

倍长线段模型

又称：倍长中线、中心对称全等、8 字型全等

把经过中点的线段延长一倍，得到一对中心对称的全等三角形（8 字型），从而把线段搬到别处，得到相等与平行。

难度入门考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

见中点、倍长它；一转 180°，线段搬家、平行出现。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1延长过中点的线段，使延长部分等于原线段：延长

C O

到

D

，使

O D = C O

，连接

B D

（也可连接

A D

，得到另一对全等三角形）。→ 得到

△ A O C

与

△ B O D

，它们有

A O = B O

、

∠ A O C = ∠ B O D

、

C O = D O

STEP 2用 SAS 得全等，读出平行：由

△ A O C ≅ △ B O D

得

A C = B D

、

∠ C A O = ∠ D B O

；这两个角是直线

A C

、

B D

被

A B

所截的内错角。→

A C

被“搬”成

B D

且方向平行，四边形

A C B D

成为平行四边形

模型的基本定义

如图，

O

是

A B

的中点，

C

是直线

A B

外一点，延长

C O

到

D

使

O D = C O

，连接

B D

。则

△ A O C ≅ △ B O D

，于是

A C = B D

且

A C ∥ B D

；四边形

A C B D

的对角线

A B

、

C D

互相平分，所以它是平行四边形。图中

A B = C D

且

A B ⊥ C D

，此时

A C B D

还是正方形。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1图中有线段的中点（ $O$ 为 $A B$ 中点）
2有一条线段经过这个中点（如 $C O$ 经过 $O$ ）
3需要把一条线段“搬家”，或需要证明两条线段相等、平行
4结论涉及平行四边形、中线，或“两条线段之和/差”的转化
5图形呈“8 字型”：两条线段相交于中点

常见触发关键词

中点倍长8 字型中心对称平行四边形线段转移中线

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
延长过中点的线段，使延长部分等于原线段
延长 $C O$ 到 $D$ ，使 $O D = C O$ ，连接 $B D$ （也可连接 $A D$ ，得到另一对全等三角形）。
得到得到 $△ A O C$ 与 $△ B O D$ ，它们有 $A O = B O$ 、 $∠ A O C = ∠ B O D$ 、 $C O = D O$
STEP 2
用 SAS 得全等，读出平行
由 $△ A O C ≅ △ B O D$ 得 $A C = B D$ 、 $∠ C A O = ∠ D B O$ ；这两个角是直线 $A C$ 、 $B D$ 被 $A B$ 所截的内错角。
得到 $A C$ 被“搬”成 $B D$ 且方向平行，四边形 $A C B D$ 成为平行四边形

为什么这样添加辅助线

中点只说明

A O = B O

，本身不产生全等。把

C O

延长一倍，等于让

△ A O C

绕

O

旋转

18 0^{\circ}

：

A

转到

B

，

C

转到

D

，两个三角形完全重合。旋转

18 0^{\circ}

（中心对称）既保长度又保方向，所以不只得到

A C = B D

，还得到

A C ∥ B D

。这正是“倍长”的价值：把一条线段搬到对面的同时，顺手造出平行线，为平行四边形、中位线、中线取值范围等问题铺路。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A O C ≅ △ B O D$ （SAS）
$A C = B D$ 且 $A C ∥ B D$
四边形 $A C B D$ 是平行四边形（对角线 $A B$ 、 $C D$ 互相平分）
若 $∠ A O C = 9 0^{\circ}$ ，则 $A C B D$ 是菱形（对角线互相垂直平分）
若再有 $A B = C D$ ，则 $A C B D$ 是正方形
$C D = 2 C O$ ， $A B = 2 A O$

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：SAS对顶角相等平行线的判定：内错角相等，两直线平行平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标

O

为

A B

中点，

C

为直线

A B

外一点，延长

C O

到

D

使

O D = C O

。求证

A C = B D

且

A C ∥ B D

。

1 $A O = B O$
依据 $O$ 为 $A B$ 中点
2 $∠ A O C = ∠ B O D$
依据对顶角相等
3 $C O = D O$
依据作图
4 $△ A O C ≅ △ B O D$
依据SAS
5 $A C = B D$
依据全等三角形的对应边相等
6 $∠ C A O = ∠ D B O$
依据全等三角形的对应角相等
7 $A C ∥ B D$
依据 $∠ C A O$ 与 $∠ D B O$ 是内错角，内错角相等则两直线平行

补充说明

倍长的对象必须是“经过中点的线段”。若把一条与中点无关的线段延长一倍，得不到中心对称，也就没有全等。“倍长中线”只是本模型的特例：把

△ A B C

的中线

A D

延长一倍得到

A B E C

是平行四边形。

典型例题

题目如图，四边形

A C B D

的对角线

A B

、

C D

相交于点

O

，且

O A = O B

，

O C = O D

。求证

A C ∥ B D

且

A C = B D

。已知：

O A = O B

，

O C = O D

，

A B

与

C D

交于

O

。

解答

1 $∠ A O C = ∠ B O D$
依据对顶角相等
2 $△ A O C ≅ △ B O D$
依据SAS： $O A = O B$ ， $∠ A O C = ∠ B O D$ ， $O C = O D$
3 $A C = B D$ ， $∠ C A O = ∠ D B O$
依据全等三角形的对应边、对应角
4 $A C ∥ B D$
依据内错角相等，两直线平行
5四边形 $A C B D$ 是平行四边形
依据对角线互相平分的四边形是平行四边形（也可用“一组对边平行且相等”）

结论与点评两条结论都成立。本题说明：“对角线互相平分”可以直接翻译成“倍长线段模型”——

△ A O C

与

△ B O D

就是绕

O

旋转

18 0^{\circ}

的一对。

常见变式

变式 1倍长中线

在

△ A B C

中，

D

为

B C

中点，延长

A D

到

E

使

D E = A D

，则

B E = A C

、

B E ∥ A C

，

A B E C

是平行四边形；由此可证

A B + A C > 2 A D

，并得

\frac{1}{2} ∣ A B - A C ∣ < A D < \frac{1}{2} (A B + A C)

。

变式 2证中位线定理

D

、

E

分别是

A B

、

A C

的中点，延长

D E

到

F

使

E F = D E

，由

△ A D E ≅ △ C F E

得

C F ∥ A D

且

C F = A D = B D

，于是

B C F D

是平行四边形，从而

D E ∥ B C

、

D E = \frac{1}{2} B C

。

变式 3中点四边形

依次连接任意四边形各边的中点，所得四边形是平行四边形：用两次倍长（或中位线）即可证明，这是倍长线段模型的组合应用。

变式 4求线段的取值范围

倍长后把分散的线段集中到一个三角形里，用三边关系求范围：如

A B = 5

、

A C = 3

、

D

为

B C

中点时，

1 < A D < 4

。

易错点

!只延长不连接：倍长后必须连接 $B D$ （或 $A D$ ），否则没有三角形可用。
!把 $A C = B D$ 与 $A C ∥ B D$ 混为一谈：相等来自全等对应边，平行来自内错角。
!写 $△ A O C ≅ △ B O D$ 时把对应顶点写错： $A \leftrightarrow B$ 、 $C \leftrightarrow D$ 、 $O \leftrightarrow O$ 。
!把任意线段延长一倍就套用结论：必须是经过中点的线段（或中线）。

关联模型

中点

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

延长过中点的线段，使延长部分等于原线段

用 SAS 得全等，读出平行

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

倍长中线模型

三角形中位线模型

蝴蝶模型

中点与全等三角形构造