全等与旋转八年级上

截长补短模型

又称：截长补短、线段和差模型

当结论是两条线段之和等于第三条线段时，在长线段上截取一段等于短线段（截长），或把短线段延长（补短），用全等把分散的线段拼到同一直线上。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

要证 a=b+c：长线段上截一段，或短线段上接一段；全等一证，和差自现。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1在长线段 $AC$ 上截取 $AF=AB$，连接 $DF$：在

A C

上取点

F

，使

A F = A B

，连接

D F

。由

A D

平分

∠ B A C

得

∠ B A D = ∠ F A D

，加上公共边

A D

，构成 SAS。→

△ A B D ≅ △ A F D

，于是

B D = D F

，

∠ A F D = ∠ B = 6 0^{\circ}

STEP 2把“剩下的一段”接到 $BD$ 上：由

∠ A F D = 6 0^{\circ}

得

∠ D F C = 12 0^{\circ}

；在

△ D F C

中

∠ C = 3 0^{\circ}

，所以

∠ F D C = 3 0^{\circ} = ∠ C

，得

D F = F C

。→

F C = D F = B D

，从而

A C = A F + F C = A B + B D

模型的基本定义

如图，在

△ A B C

中，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 3 0^{\circ}

，

A D

平分

∠ B A C

交

B C

于

D

。在

A C

上截取

A F = A B

，连接

D F

，则

△ A B D ≅ △ A F D

，

B D = D F

，

∠ A F D = ∠ B = 6 0^{\circ}

；又

∠ D F C = 12 0^{\circ}

、

∠ C = 3 0^{\circ}

，得

∠ F D C = 3 0^{\circ} = ∠ C

，所以

D F = F C

。于是

A C = A F + F C = A B + B D

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1结论是线段的和差： $a = b + c$ （或 $a - b = c$ ）
2图中有一条明显更长的线段，需要在其上取点，或需要延长某条线段
3有角平分线、等腰三角形、 $6 0^{\circ}$ / $3 0^{\circ}$ 等能产生全等的条件
4已知两角满足 $∠ B = 2∠ C$ 一类的倍数关系（图中 $6 0^{\circ} = 2 \times 3 0^{\circ}$ ）
5直接计算有困难，需要把两条线段“拼”到一条直线上比较
6结论中出现“求证 $A C = A B + B D$ ”这类形式

常见触发关键词

线段和a=b+c截长补短角平分线线段差60° 与 30°

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
在长线段 $AC$ 上截取 $AF=AB$，连接 $DF$
在 $A C$ 上取点 $F$ ，使 $A F = A B$ ，连接 $D F$ 。由 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 得 $∠ B A D = ∠ F A D$ ，加上公共边 $A D$ ，构成 SAS。
得到 $△ A B D ≅ △ A F D$ ，于是 $B D = D F$ ， $∠ A F D = ∠ B = 6 0^{\circ}$
STEP 2
把“剩下的一段”接到 $BD$ 上
由 $∠ A F D = 6 0^{\circ}$ 得 $∠ D F C = 12 0^{\circ}$ ；在 $△ D F C$ 中 $∠ C = 3 0^{\circ}$ ，所以 $∠ F D C = 3 0^{\circ} = ∠ C$ ，得 $D F = F C$ 。
得到 $F C = D F = B D$ ，从而 $A C = A F + F C = A B + B D$

为什么这样添加辅助线

结论要证的是“两段之和等于第三段”，可

A B

、

B D

、

A C

分居在不同三角形里，没法直接相加。截长的做法是在长线段

A C

上切下

A F = A B

，把

A B

“搬”到

A C

上，再用角平分线提供的一组等角与公共边

A D

造出全等，把

B D

也搬成

D F

。这样

A B

与

B D

就都站在直线

A C

上了，只要证

D F = F C

，和式自然成立。补短的思路相反：把

A B

延长一段等于

B D

，再证整体等于

A C

。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B D ≅ △ A F D$ （SAS）
$B D = D F$ ， $∠ A F D = ∠ B$
$D F = F C$ （ $△ D F C$ 是等腰三角形）
$A C = A B + B D$
$∠ D F C = 18 0^{\circ} - ∠ B$ ， $∠ F D C = ∠ C$
一般地，若 $∠ B = 2∠ C$ 且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $A C = A B + B D$ 恒成立

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：SAS等腰三角形的判定：等角对等边三角形内角和定理角平分线的定义平角与角的和差

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

△ A B C

中

∠ B = 2∠ C

，

A D

平分

∠ B A C

交

B C

于

D

。求证

A C = A B + B D

。

1在 $A C$ 上取点 $F$ ，使 $A F = A B$ ，连接 $D F$
依据截长作图
2 $∠ B A D = ∠ F A D$
依据角平分线的定义
3 $△ A B D ≅ △ A F D$
依据SAS： $A B = A F$ ， $∠ B A D = ∠ F A D$ ， $A D = A D$
4 $B D = D F$ ， $∠ A F D = ∠ B$
依据全等三角形的对应边、对应角
5 $∠ D F C = 18 0^{\circ} - ∠ A F D = 18 0^{\circ} - ∠ B$
依据 $F$ 在 $A C$ 上， $∠ A F D$ 与 $∠ D F C$ 互补
6 $∠ F D C = 18 0^{\circ} - ∠ D F C - ∠ C = 18 0^{\circ} - (18 0^{\circ} - ∠ B) - ∠ C = ∠ B - ∠ C = ∠ C$
依据三角形内角和； $∠ B = 2∠ C$
7 $D F = F C$ ，故 $A C = A F + F C = A B + B D$
依据等角对等边；线段和

补充说明

本题的通用条件是

∠ B = 2∠ C

，图中

6 0^{\circ}

与

3 0^{\circ}

只是它的一组具体取值。若把

6 0^{\circ}

、

3 0^{\circ}

换掉而

∠ B \neq = 2∠ C

，则

∠ F D C = ∠ C

推不出来，

D F = F C

与

A C = A B + B D

也一并失效。

典型例题

题目如图，在

△ A B C

中，

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 3 0^{\circ}

，

A D

平分

∠ B A C

交

B C

于

D

，

A B = 10

。(1) 求证

A C = A B + B D

；(2) 求

B D

与

C D

。已知：

∠ B = 6 0^{\circ}

，

∠ C = 3 0^{\circ}

，

A B = 10

，

A D

平分

∠ B A C

。

解答

1 $∠ B A C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$
依据三角形内角和
2在 $A C$ 上取 $F$ 使 $A F = A B = 10$ ，连接 $D F$ ，则 $△ A B D ≅ △ A F D$
依据SAS（角平分线 + 公共边）
3 $B D = D F$ ， $∠ A F D = ∠ B = 6 0^{\circ}$ ，故 $∠ D F C = 12 0^{\circ}$
依据全等对应；平角
4 $∠ F D C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = ∠ C$ ，故 $D F = F C$
依据三角形内角和；等角对等边
5 $A C = A F + F C = 10 + B D$ ，即 $A C = A B + B D$
依据线段和；等量代换
6在 $Rt △ A B C$ 中 $∠ C = 3 0^{\circ}$ ，故 $A B = \frac{1}{2} B C$ ， $B C = 20$ ， $A C = 103$
依据 $3 0^{\circ}$ 所对的直角边等于斜边一半；勾股定理
7 $B D = A C - A B = 103 - 10$ ， $C D = B C - B D = 30 - 103$
依据由 (1) 与线段差

结论与点评

A C = 103

，

B D = 10 (3 - 1)

，

C D = 30 - 103

。可验算

B D + C D = 20 = B C

，与图形一致。

常见变式

变式 1补短版本

延长

A B

到

E

，使

B E = B D

，连接

D E

：由

B E = B D

得

∠ B E D = ∠ B D E = 3 0^{\circ} = ∠ C

，再用 AAS 证

△ A E D ≅ △ A C D

，得

A C = A E = A B + B D

。

变式 2两段之差

若结论是

a - b = c

，就在长线段上截去

b

，证余下部分等于

c

，思路与截长完全一致，只是把“相加”换成“相减”。

变式 360° 与 30° 的其他取值

只要

∠ B = 2∠ C

，具体度数可以换成

9 0^{\circ}

与

4 5^{\circ}

、

12 0^{\circ}

与

6 0^{\circ}

，

A C = A B + B D

仍成立。

变式 4与半角模型的关系

半角模型中的

E F = B E + D F

也是线段和，只是用旋转把两段拼起来；截长补短用“截/接”达到同样目的，两者可以互相替代。

易错点

!截长时截错端点：要在长线段 $A C$ 上截 $A F = A B$ （从 $A$ 量起），不能从 $C$ 量起。
!不证 $D F = F C$ 就直接写 $A C = A B + B D$ ：中间必须用“等角对等边”补上这一步。
!把 $∠ D F C$ 当成 $∠ A F D$ 的余角：它们互补，和为 $18 0^{\circ}$ 。
!忘记 $∠ B = 2∠ C$ 这个倍数条件，导致 $∠ F D C = ∠ C$ 推不出来。

关联模型

正方形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

在长线段 $AC$ 上截取 $AF=AB$，连接 $DF$

把“剩下的一段”接到 $BD$ 上

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

半角模型

角平分线与全等三角形模型

倍长线段模型

线段和差转化模型