中点与线段八年级上

中点与全等三角形构造

又称：中点造全等、底边中点模型

中点天然提供一组等边，把中点与已知点相连又得到公共边，只要再补上“垂直”或“对顶角”，就能用 SAS 造出一对全等三角形。

难度入门考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

见中点，连中点；一组等边加公共边，再补一个夹角。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1连接已知点与两个端点（连 PB、PC）：连接

P B

、

P C

，把“

P

到

B

、

C

的距离”放进

△ P D B

与

△ P D C

中。这两个三角形共用边

P D

，又各有半边底边

B D

、

D C

。→ 得到两个“有两组边相等”的三角形：

B D = D C

（中点），

P D = P D

（公共边），只差夹角

STEP 2标出直角 ∠PDB = ∠PDC = 90°：由

A B = A C

、

D

是

B C

中点，三线合一给出

A D ⊥ B C

。当

P

在

A D

上时，

P D

落在

A D

上，所以

∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}

。图中

D

处的直角符号标的就是

A D ⊥ B C

。→ 凑齐 SAS 的夹角条件，得

△ P D B ≅ △ P D C

，进而

P B = P C

、

∠ B P D = ∠ C P D

模型的基本定义

如图，

△ A B C

中

A B = A C

，

D

是

B C

的中点，连接

A D

，由三线合一得

A D ⊥ B C

。

P

是形内一点，连接

P B

、

P C

，则

△ P D B

与

△ P D C

已经有

B D = D C

（中点）与

P D = P D

（公共边）两组条件；只要再补上

∠ P D B = ∠ P D C

（即

P

在

A D

上、

P D ⊥ B C

），就可以用 SAS 得到

△ P D B ≅ △ P D C

，从而

P B = P C

，且

P D

平分

∠ B P C

。这类“用中点凑齐 SAS”的想法，就是中点与全等构造的核心套路。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1已知某条线段的中点（常见的是等腰三角形的底边中点）
2要证的两条线段分别属于两个三角形，且这两个三角形共用一条边或一个顶点
3中点所在直线与另一条直线垂直（如三线合一给出的 AD ⊥ BC）
4需要证明两条线段相等、两个角相等
5要求证一个点在某条线段的垂直平分线上

常见触发关键词

中点底边中点公共边垂直PB = PC三线合一垂直平分线

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
连接已知点与两个端点（连 PB、PC）
连接 $P B$ 、 $P C$ ，把“ $P$ 到 $B$ 、 $C$ 的距离”放进 $△ P D B$ 与 $△ P D C$ 中。这两个三角形共用边 $P D$ ，又各有半边底边 $B D$ 、 $D C$ 。
得到得到两个“有两组边相等”的三角形： $B D = D C$ （中点）， $P D = P D$ （公共边），只差夹角
STEP 2
标出直角 ∠PDB = ∠PDC = 90°
由 $A B = A C$ 、 $D$ 是 $B C$ 中点，三线合一给出 $A D ⊥ B C$ 。当 $P$ 在 $A D$ 上时， $P D$ 落在 $A D$ 上，所以 $∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}$ 。图中 $D$ 处的直角符号标的就是 $A D ⊥ B C$ 。
得到凑齐 SAS 的夹角条件，得 $△ P D B ≅ △ P D C$ ，进而 $P B = P C$ 、 $∠ B P D = ∠ C P D$

为什么这样添加辅助线

中点只给出一组等边（BD = DC），单独一组边什么也判定不了。把 P 与 B、C 相连后，两个三角形共用 PD，这才有了第二组边；第三组条件“夹角相等”要靠 AD ⊥ BC 提供。所以辅助线的目的很明确：用“中点 + 公共边”搭好两个三角形的框架，再借“垂直”补上夹角，凑成 SAS。这也解释了为什么 P 必须取在 AD 上——一旦离开 AD，∠PDB 与 ∠PDC 就不再相等，全等（以及 PB = PC）都不成立。

添加辅助线后产生的新关系

$△ P D B ≅ △ P D C$ （SAS， $P$ 在 $A D$ 上时）
$P B = P C$ ， $∠ B P D = ∠ C P D$ ， $∠ P B D = ∠ P C D$
$P D$ 平分 $∠ B P C$ ，且 $P D$ 所在直线是 $B C$ 的垂直平分线
对 $A D$ 上任意一点 $P$ ，都有 $P B = P C$
当 $P$ 与 $A$ 重合时， $P B = P C$ 退化为 $A B = A C$
$S_{△ P D B} = S_{△ P D C}$ （全等三角形面积相等）

能使用哪些定理和性质

全等三角形判定：SAS（两边及其夹角）等腰三角形“三线合一”线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到两端距离相等）与判定全等三角形对应边相等、对应角相等

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

A B = A C

，

D

是

B C

的中点，

P

是

A D

上一点。求证

P B = P C

，且

∠ B P D = ∠ C P D

。

1 $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点
依据已知
2 $A D ⊥ B C$ ， $∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}$
依据等腰三角形三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高互相重合）； $P$ 在 $A D$ 上
3 $B D = D C$
依据 $D$ 是 $B C$ 的中点
4 $P D = P D$
依据公共边
5 $△ P D B ≅ △ P D C$
依据SAS： $B D = D C$ ， $∠ P D B = ∠ P D C$ ， $P D = P D$
6 $P B = P C$ ， $∠ B P D = ∠ C P D$
依据全等三角形的对应边相等、对应角相等
7 $P D$ 平分 $∠ B P C$
依据 $∠ B P D = ∠ C P D$ ，角平分线的定义

补充说明

若不连 PB、PC，直接引用“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”也能得到 PB = PC。两种写法都对，但用全等更直观，也更能说明“中点 + 垂直”为什么够用。注意：结论依赖“P 在 AD 上”这一位置条件，题目若只说 P 是形内一点，就不能写 PB = PC。

典型例题

题目在

△ A B C

中，

A B = A C

，

D

是

B C

的中点，

P

是

A D

上一点，

∠ B P D = 7 0^{\circ}

。求

∠ C P D

、

∠ P B D

的度数，并说明

P B

与

P C

的关系。已知：

A B = A C

，

D

为

B C

中点，

P

在

A D

上，

∠ B P D = 7 0^{\circ}

。

解答

1 $A D ⊥ B C$ ， $∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}$
依据等腰三角形三线合一
2 $△ P D B ≅ △ P D C$
依据 $B D = D C$ ， $∠ P D B = ∠ P D C$ ， $P D$ 公共，SAS
3 $∠ C P D = ∠ B P D = 7 0^{\circ}$
依据全等三角形的对应角相等
4 $P B = P C$
依据全等三角形的对应边相等
5 $∠ P B D = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 2 0^{\circ}$
依据在 $△ P D B$ 中用三角形内角和

结论与点评

∠ C P D = 7 0^{\circ}

，

∠ P B D = 2 0^{\circ}

，

P B = P C

。本题的“全等”是由中点、公共边、垂直三个条件凑出来的，缺一不可。

常见变式

变式 1点 P 在 AD 的延长线上

P

取在

A D

的延长线上时，

∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}

仍然成立，

△ P D B ≅ △ P D C

与

P B = P C

都不变。

变式 2中点 + 对顶角

若

D

是

B C

的中点，且

P

、

D

、

Q

共线、

P D = D Q

，则

△ P D B ≅ △ Q D C

（SAS），这是倍长中线、中心对称的另一种说法。

变式 3反过来证等腰

已知

D

是

B C

的中点，

A D ⊥ B C

，求证

A B = A C

：由垂直平分线的性质直接得到，也可用

△ A D B ≅ △ A D C

（SAS）证明。

变式 4与垂直平分线定理对照

把“连 PB、PC 证全等”换成“由

A D

是

B C

的垂直平分线直接得

P B = P C

”，两种思路可以互相检验。

易错点

! $P$ 不在 $A D$ 上时仍写“ $P B = P C$ ”：此时只知 $B D = D C$ 、 $P D$ 公共，夹角不等，不能用 SAS。
!把“三线合一”当成任意三角形都成立：它只在等腰三角形中，且必须是顶角平分线、底边中线、底边高三条重合。
!已知中点就直接写“ $A D ⊥ B C$ ”，漏掉“ $A B = A C$ ”这个前提。
!全等对应顶点写错：应为 $△ P D B ≅ △ P D C$ （ $B$ 对 $C$ ， $D$ 对 $D$ ）。

关联模型

等腰三角形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

连接已知点与两个端点（连 PB、PC）

标出直角 ∠PDB = ∠PDC = 90°

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

等腰三角形三线合一模型

等腰三角形性质模型

倍长中线模型

蝴蝶模型