Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

中点与线段 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：标出直角 ∠PDB = ∠PDC = 90°2 / 2

由

A B = A C

、

D

是

B C

中点，三线合一给出

A D ⊥ B C

。当

P

在

A D

上时，

P D

落在

A D

上，所以

∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}

。图中

D

处的直角符号标的就是

A D ⊥ B C

。→ 凑齐 SAS 的夹角条件，得

△ P D B ≅ △ P D C

，进而

P B = P C

、

∠ B P D = ∠ C P D

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1连接已知点与两个端点（连 PB、PC）
连接 $P B$ 、 $P C$ ，把“ $P$ 到 $B$ 、 $C$ 的距离”放进 $△ P D B$ 与 $△ P D C$ 中。这两个三角形共用边 $P D$ ，又各有半边底边 $B D$ 、 $D C$ 。
→ 得到两个“有两组边相等”的三角形： $B D = D C$ （中点）， $P D = P D$ （公共边），只差夹角
2标出直角 ∠PDB = ∠PDC = 90°
由 $A B = A C$ 、 $D$ 是 $B C$ 中点，三线合一给出 $A D ⊥ B C$ 。当 $P$ 在 $A D$ 上时， $P D$ 落在 $A D$ 上，所以 $∠ P D B = ∠ P D C = 9 0^{\circ}$ 。图中 $D$ 处的直角符号标的就是 $A D ⊥ B C$ 。
→ 凑齐 SAS 的夹角条件，得 $△ P D B ≅ △ P D C$ ，进而 $P B = P C$ 、 $∠ B P D = ∠ C P D$

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

中点与全等三角形构造

中点只给出一组等边（BD = DC），单独一组边什么也判定不了。把 P 与 B、C 相连后，两个三角形共用 PD，这才有了第二组边；第三组条件“夹角相等”要靠 AD ⊥ BC 提供。所以辅助线的目的很明确：用“中点 + 公共边”搭好两个三角形的框架，再借“垂直”补上夹角，凑成 SAS。这也解释了为什么 P 必须取在 AD 上——一旦离开 AD，∠PDB 与 ∠PDC 就不再相等，全等（以及 PB = PC）都不成立。

NEW RELATIONS

$△ P D B ≅ △ P D C$ （SAS， $P$ 在 $A D$ 上时）
$P B = P C$ ， $∠ B P D = ∠ C P D$ ， $∠ P B D = ∠ P C D$
$P D$ 平分 $∠ B P C$ ，且 $P D$ 所在直线是 $B C$ 的垂直平分线
对 $A D$ 上任意一点 $P$ ，都有 $P B = P C$
当 $P$ 与 $A$ 重合时， $P B = P C$ 退化为 $A B = A C$
$S_{△ P D B} = S_{△ P D C}$ （全等三角形面积相等）

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。