全等与旋转八年级上

对角互补模型

又称：对角互补加邻边相等、旋转补形

四边形中一组对角互补且一组邻边相等时，把其中一个三角形绕公共顶点旋转，可使另三点共线，从而得到角平分线与线段和。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

对角互补、邻边相等；绕顶点一转，两段接成一段，角平分线现身。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1把 $\triangle ABC$ 绕 $A$ 旋转到 $\triangle ADC'$：以

A

为旋转中心，按

∠ B A D

的方向旋转，使

A B

落到

A D

上（

A B = A D

保证做得到），

C

落到

C^{'}

；连接

A C^{'}

、

D C^{'}

。→

△ A B C ≅ △ A D C^{'}

，

A C^{'} = A C

，

D C^{'} = B C

，

∠ A D C^{'} = ∠ A B C

STEP 2连接 $CC'$，证 $C'$、$D$、$C$ 三点共线：由四边形内角和

36 0^{\circ}

与已知的互补关系得

∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}

，所以

∠ A D C^{'} + ∠ A D C = 18 0^{\circ}

，

C^{'}

、

D

、

C

在一条直线上，

C C^{'} = C^{'} D + D C

。→

B C + C D = C C^{'}

，且

△ A C C^{'}

是顶角为

∠ B A D

的等腰三角形

模型的基本定义

如图，四边形

A B C D

中

∠ B A D + ∠ B C D = 18 0^{\circ}

，且

A B = A D

（图中

∠ B A D = 12 0^{\circ}

、

∠ B C D = 6 0^{\circ}

）。把

△ A B C

绕

A

旋转

∠ B A D

，使

A B

落到

A D

上，

C

落到

C^{'}

。则

△ A B C ≅ △ A D C^{'}

，

B C = D C^{'}

；由四边形内角和得

∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}

，故

∠ A D C^{'} + ∠ A D C = 18 0^{\circ}

，所以

C^{'}

、

D

、

C

三点共线，

C C^{'} = C^{'} D + D C = B C + C D

。并且

A C = A C^{'}

，

△ A C C^{'}

是顶角为

∠ B A D

的等腰三角形，

C A

平分

∠ B C D

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1四边形中有一组对角互补： $∠ B A D + ∠ B C D = 18 0^{\circ}$
2这组对角中，以同一个顶点为端点的两条邻边相等： $A B = A D$
3需要证明某条对角线平分一个角（ $C A$ 平分 $∠ B C D$ ）
4结论涉及两条线段之和（ $C B + C D$ ）与对角线（ $A C$ ）的关系
5出现 $6 0^{\circ}$ 、 $9 0^{\circ}$ 、 $12 0^{\circ}$ 等特殊角
6图形中有“旋转后可以重合”的两条相等邻边

常见触发关键词

对角互补邻边相等旋转三点共线角平分线线段和60°/120°

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
把 $\triangle ABC$ 绕 $A$ 旋转到 $\triangle ADC'$
以 $A$ 为旋转中心，按 $∠ B A D$ 的方向旋转，使 $A B$ 落到 $A D$ 上（ $A B = A D$ 保证做得到）， $C$ 落到 $C^{'}$ ；连接 $A C^{'}$ 、 $D C^{'}$ 。
得到 $△ A B C ≅ △ A D C^{'}$ ， $A C^{'} = A C$ ， $D C^{'} = B C$ ， $∠ A D C^{'} = ∠ A B C$
STEP 2
连接 $CC'$，证 $C'$、$D$、$C$ 三点共线
由四边形内角和 $36 0^{\circ}$ 与已知的互补关系得 $∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ ，所以 $∠ A D C^{'} + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ ， $C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 在一条直线上， $C C^{'} = C^{'} D + D C$ 。
得到 $B C + C D = C C^{'}$ ，且 $△ A C C^{'}$ 是顶角为 $∠ B A D$ 的等腰三角形

为什么这样添加辅助线

已知条件把“

A B = A D

”和“对角互补”分放在四边形的两处，单看哪一个都不够用。绕

A

旋转

∠ B A D

后，

A B

与

A D

重合，

△ A B C

被搬到

△ A D C^{'}

，于是

B C

变成

D C^{'}

，与

C D

落在同一条直线上；而“对角互补”正好保证

∠ A D C^{'}

与

∠ A D C

拼成

18 0^{\circ}

，三点共线。共线之后，

B C + C D

被压缩成一条线段

C C^{'}

，它又是等腰三角形

A C C^{'}

的底边，长度只取决于

A C

与顶角，问题就此解完。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A B C ≅ △ A D C^{'}$ （旋转全等）
$C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线， $C C^{'} = B C + C D$
$A C = A C^{'}$ ， $∠ C A C^{'} = ∠ B A D$ ， $△ A C C^{'}$ 是等腰三角形
$C A$ 平分 $∠ B C D$ ，即 $∠ A C B = ∠ A C D$
$∠ B A D = 12 0^{\circ}$ 时 $C B + C D = 3 A C$ ； $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ 时 $C B + C D = 2 A C$ ； $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ 时 $C B + C D = A C$
$S_{A B C D} = S_{△ A C C^{'}} = \frac{1}{2} A C^{2} sin ∠ B A D$ ；当 $∠ B A D = 12 0^{\circ}$ 时 $S_{A B C D} = \frac{3}{4} A C^{2}$

能使用哪些定理和性质

四边形内角和等于 $360^\circ$旋转的性质：旋转前后图形全等等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一含 $30^\circ$ 角的直角三角形三边比为 $1:\sqrt{3}:2$平角与三点共线的判定

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标四边形

A B C D

中

∠ B A D + ∠ B C D = 18 0^{\circ}

，

A B = A D

，且

∠ B A D = 12 0^{\circ}

。求证

C A

平分

∠ B C D

，且

C B + C D = 3 A C

。

1把 $△ A B C$ 绕 $A$ 旋转 $∠ B A D$ 到 $△ A D C^{'}$
依据作图： $A B = A D$ ，旋转后 $B$ 与 $D$ 重合
2 $A C^{'} = A C$ ， $D C^{'} = B C$ ， $∠ A D C^{'} = ∠ A B C$ ， $∠ A C^{'} D = ∠ A C B$
依据旋转前后图形全等，对应边、对应角相等
3 $∠ A B C + ∠ A D C = 36 0^{\circ} - (∠ B A D + ∠ B C D) = 18 0^{\circ}$
依据四边形内角和为 $36 0^{\circ}$ ，已知一组对角互补
4 $∠ A D C^{'} + ∠ A D C = ∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ ，故 $C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线
依据等量代换；两角互补则两射线成一条直线
5 $C C^{'} = C^{'} D + D C = B C + C D$
依据线段和
6在等腰 $△ A C C^{'}$ 中 $A C = A C^{'}$ ， $∠ C A C^{'} = 12 0^{\circ}$ ，作底边上的高得 $C C^{'} = 2 \cdot A C \cdot sin 6 0^{\circ} = 3 A C$
依据等腰三角形三线合一；含 $3 0^{\circ}$ 角的直角三角形三边比 $1 : 3 : 2$
7 $∠ A C^{'} D = ∠ A C B$ ，又 $C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 共线且 $A C = A C^{'}$ ，故 $∠ A C^{'} C = ∠ A C C^{'}$ ，于是 $∠ A C B = ∠ A C D$
依据等边对等角；角的代换

补充说明

旋转的方向与角度必须与

∠ B A D

一致；若

A B \neq = A D

，

B

旋转后落不到

D

上，整套构造失效。另外“对角互补”是四点共圆的等价条件，学过圆之后可以用“同弧所对的圆周角相等”重新解释这个模型。

典型例题

题目如图，四边形

A B C D

中

∠ B A D + ∠ B C D = 18 0^{\circ}

，

A B = A D

，

∠ B C D = 6 0^{\circ}

，

A C = 4

。求

C B + C D

与

∠ A C B

。已知：

A B = A D

，

∠ B A D

与

∠ B C D

互补，

∠ B C D = 6 0^{\circ}

，

A C = 4

。

解答

1 $∠ B A D = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$
依据互补的定义
2把 $△ A B C$ 绕 $A$ 旋转 $12 0^{\circ}$ 到 $△ A D C^{'}$ ，则 $C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线
依据模型构造：旋转 $∠ B A D$ 后对角互补保证共线
3 $C C^{'} = C B + C D$ ， $A C^{'} = A C = 4$ ， $∠ C A C^{'} = 12 0^{\circ}$
依据模型结论
4在等腰 $△ A C C^{'}$ 中作底边上的高， $C C^{'} = 2 \times 4 \times sin 6 0^{\circ} = 43$
依据三线合一；含 $3 0^{\circ}$ 角的直角三角形
5 $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{1}{2} ∠ B C D = 3 0^{\circ}$
依据 $C A$ 平分 $∠ B C D$

结论与点评

C B + C D = 43

，

∠ A C B = 3 0^{\circ}

。注意

43 < 4 + 4

，与三角形两边之和大于第三边不矛盾。

常见变式

变式 1对角互补 + 90°

若

∠ B A D = 9 0^{\circ}

（此时

∠ B C D = 9 0^{\circ}

）且

A B = A D

，则

C B + C D = 2 A C

，且

C A

平分

∠ B C D

。

变式 2对角互补 + 60°

若

∠ B A D = 6 0^{\circ}

、

∠ B C D = 12 0^{\circ}

，则

C B + C D = A C

，此时

△ A C C^{'}

是等边三角形。

变式 3面积结论

四边形面积等于

△ A C C^{'}

的面积，即

S = \frac{1}{2} A C^{2} sin ∠ B A D

；在

∠ B A D = 12 0^{\circ}

时

S = \frac{3}{4} A C^{2}

，可用于求面积或建立方程。

易错点

!把“对角互补”写成“邻角互补”：互补的是 $∠ B A D$ 与 $∠ B C D$ ，它们不相邻。
!漏掉 $A B = A D$ ：没有这组邻边相等， $B$ 旋转后落不到 $D$ 上。
!旋转后不证三点共线就写 $C C^{'} = C B + C D$ 。
!把 $C B + C D = 3 A C$ 用到任意对角互补的四边形上： $3$ 只在 $∠ B A D = 12 0^{\circ}$ 时成立。

关联模型

正方形

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

把 $\triangle ABC$ 绕 $A$ 旋转到 $\triangle ADC'$

连接 $CC'$，证 $C'$、$D$、$C$ 三点共线

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

半角模型

旋转全等模型

特殊角旋转模型

手拉手模型