Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

全等与旋转 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：连接 $CC'$，证 $C'$、$D$、$C$ 三点共线2 / 2

由四边形内角和

36 0^{\circ}

与已知的互补关系得

∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}

，所以

∠ A D C^{'} + ∠ A D C = 18 0^{\circ}

，

C^{'}

、

D

、

C

在一条直线上，

C C^{'} = C^{'} D + D C

。→

B C + C D = C C^{'}

，且

△ A C C^{'}

是顶角为

∠ B A D

的等腰三角形

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1把 $\triangle ABC$ 绕 $A$ 旋转到 $\triangle ADC'$
以 $A$ 为旋转中心，按 $∠ B A D$ 的方向旋转，使 $A B$ 落到 $A D$ 上（ $A B = A D$ 保证做得到）， $C$ 落到 $C^{'}$ ；连接 $A C^{'}$ 、 $D C^{'}$ 。
→ $△ A B C ≅ △ A D C^{'}$ ， $A C^{'} = A C$ ， $D C^{'} = B C$ ， $∠ A D C^{'} = ∠ A B C$
2连接 $CC'$，证 $C'$、$D$、$C$ 三点共线
由四边形内角和 $36 0^{\circ}$ 与已知的互补关系得 $∠ A B C + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ ，所以 $∠ A D C^{'} + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ ， $C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 在一条直线上， $C C^{'} = C^{'} D + D C$ 。
→ $B C + C D = C C^{'}$ ，且 $△ A C C^{'}$ 是顶角为 $∠ B A D$ 的等腰三角形

SELECT MODEL

WHY

已知条件把“

A B = A D

”和“对角互补”分放在四边形的两处，单看哪一个都不够用。绕

A

旋转

∠ B A D

后，

A B

与

A D

重合，

△ A B C

被搬到

△ A D C^{'}

，于是

B C

变成

D C^{'}

，与

C D

落在同一条直线上；而“对角互补”正好保证

∠ A D C^{'}

与

∠ A D C

拼成

18 0^{\circ}

，三点共线。共线之后，

B C + C D

被压缩成一条线段

C C^{'}

，它又是等腰三角形

A C C^{'}

的底边，长度只取决于

A C

与顶角，问题就此解完。

NEW RELATIONS

$△ A B C ≅ △ A D C^{'}$ （旋转全等）
$C^{'}$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线， $C C^{'} = B C + C D$
$A C = A C^{'}$ ， $∠ C A C^{'} = ∠ B A D$ ， $△ A C C^{'}$ 是等腰三角形
$C A$ 平分 $∠ B C D$ ，即 $∠ A C B = ∠ A C D$
$∠ B A D = 12 0^{\circ}$ 时 $C B + C D = 3 A C$ ； $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ 时 $C B + C D = 2 A C$ ； $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ 时 $C B + C D = A C$
$S_{A B C D} = S_{△ A C C^{'}} = \frac{1}{2} A C^{2} sin ∠ B A D$ ；当 $∠ B A D = 12 0^{\circ}$ 时 $S_{A B C D} = \frac{3}{4} A C^{2}$

实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。