全等与旋转八年级上

一线三等角模型

又称：三等角模型、同侧三等角

同一直线上出现三个相等的角，可推出两个三角形有两组角对应相等，从而第三个角也相等；再补一组对应边，就能用 ASA 或 AAS 判定全等。

难度挑战考试权重 6 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

一条直线上三个等角，第三个角自然相等；要全等，还差一组对应边。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1标出三个等角，锁定待证的两个三角形：沿直线

B D

找到中间顶点

C

，把

∠ A B C

、

∠ A C E

、

∠ C D E

都标成

α

，确认

△ A B C

与

△ C D E

是待证的一对。→ 明确对应关系：

A \leftrightarrow C

、

B \leftrightarrow D

、

C \leftrightarrow E

STEP 2借平角把“第三个角”挤出来：由

B

、

C

、

D

共线得

∠ A C B + α + ∠ D C E = 18 0^{\circ}

；由

△ A B C

内角和得

∠ B A C = 18 0^{\circ} - α - ∠ A C B

，两式比较即得

∠ B A C = ∠ D C E

。→ 两组角对应相等，补一组对应边后即可用 ASA 或 AAS

模型的基本定义

如图，点

B

、

C

、

D

在同一条直线上，

A

、

E

在直线的同侧，且

∠ A B C = ∠ A C E = ∠ C D E = α

。由平角与三角形内角和可推出

∠ B A C = ∠ D C E

，于是

△ A B C

与

△ C D E

的三个角分别相等，对应关系是

A \leftrightarrow C

、

B \leftrightarrow D

、

C \leftrightarrow E

。此时若再有一组对应边相等，如

A B = C D

，则

△ A B C ≅ △ C D E

。图中画的是一般位置（三条边没有相等标记），所以只能得到角相等，不能直接写全等。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1一条直线上依次有三点 $B$ 、 $C$ 、 $D$
2以这三点为顶点，在直线同侧各有一个相等的角： $∠ A B C = ∠ A C E = ∠ C D E = α$
3两个三角形分居中间顶点 $C$ 的两侧： $△ A B C$ 与 $△ C D E$
4结论要求证明两个三角形全等，或要求线段相等
5还给出（或能推出）一组对应边相等： $A B = C D$ ，或 $B C = D E$ ，或 $A C = C E$
6常见于 $6 0^{\circ}$ 、 $9 0^{\circ}$ 、 $12 0^{\circ}$ 等特殊角背景

常见触发关键词

三点共线三个等角一线三等角同侧α对应边相等全等

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
标出三个等角，锁定待证的两个三角形
沿直线 $B D$ 找到中间顶点 $C$ ，把 $∠ A B C$ 、 $∠ A C E$ 、 $∠ C D E$ 都标成 $α$ ，确认 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 是待证的一对。
得到明确对应关系： $A \leftrightarrow C$ 、 $B \leftrightarrow D$ 、 $C \leftrightarrow E$
STEP 2
借平角把“第三个角”挤出来
由 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共线得 $∠ A C B + α + ∠ D C E = 18 0^{\circ}$ ；由 $△ A B C$ 内角和得 $∠ B A C = 18 0^{\circ} - α - ∠ A C B$ ，两式比较即得 $∠ B A C = ∠ D C E$ 。
得到两组角对应相等，补一组对应边后即可用 ASA 或 AAS

为什么这样添加辅助线

这类题往往不需要添新线，关键是“把三个等角摆到同一条直线上”。三个角相等之所以有用，是因为平角把中间那个角两侧的角联系了起来：

∠ A C B + α + ∠ D C E = 18 0^{\circ}

，而三角形内角和又给出

∠ B A C + α + ∠ A C B = 18 0^{\circ}

，两式一比较，

∠ B A C

与

∠ D C E

就被“挤”成相等。所以这里真正要做的是选对共线的三点、认清同侧的两个三角形；如果图形是斜的，常需要延长某条边把三点共线补出来。

添加辅助线后产生的新关系

$∠ B A C = ∠ D C E$ （第三个角也相等）
$△ A B C$ 与 $△ C D E$ 的三个角分别相等（ $A \leftrightarrow C$ 、 $B \leftrightarrow D$ 、 $C \leftrightarrow E$ ）
$∠ A C B + ∠ D C E = 18 0^{\circ} - α$
若 $A B = C D$ ，则 $△ A B C ≅ △ C D E$ （ASA），且 $B C = D E$ 、 $A C = C E$
若 $α = 9 0^{\circ}$ ，就退化为一线三垂直，此时还需 $A D = A E$ 一类的对应边条件
$∠ D C E = ∠ B A C$ 与 $α$ 的取值无关，换成 $12 0^{\circ}$ 等角同样成立

能使用哪些定理和性质

三角形内角和定理平角等于 $180^\circ$全等三角形判定：ASA（两角及其夹边）全等三角形判定：AAS（两角及其中一角的对边）等式的性质（等量代换）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

B

、

C

、

D

共线，

∠ A B C = ∠ A C E = ∠ C D E = α

，且

A B = C D

。求证

△ A B C ≅ △ C D E

，

B C = D E

。

1 $∠ A C B + ∠ A C E + ∠ D C E = 18 0^{\circ}$
依据 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共线，平角为 $18 0^{\circ}$
2 $∠ D C E = 18 0^{\circ} - α - ∠ A C B$
依据代入 $∠ A C E = α$
3 $∠ B A C = 18 0^{\circ} - ∠ A B C - ∠ A C B = 18 0^{\circ} - α - ∠ A C B$
依据三角形内角和定理
4 $∠ B A C = ∠ D C E$
依据等量代换
5 $△ A B C ≅ △ C D E$
依据ASA： $∠ A B C = ∠ C D E$ ， $A B = C D$ ， $∠ B A C = ∠ D C E$
6 $B C = D E$ ， $A C = C E$
依据全等三角形的对应边相等

补充说明

图中三个角相等，但三条边没有相等标记，这只是一般位置：三组角相等只能保证两个三角形形状相同，要写

≅

必须再补一组对应边。对应关系是

A \leftrightarrow C

、

B \leftrightarrow D

、

C \leftrightarrow E

，所以对应边是

A B \leftrightarrow C D

、

B C \leftrightarrow D E

、

A C \leftrightarrow C E

——

B C = C D

并不构成对应边相等。

典型例题

题目如图，

B

、

C

、

D

三点共线，

∠ A B C = ∠ A C E = ∠ C D E = α

，

∠ A C B = β

。(1) 求

∠ B A C

与

∠ D C E

（用

α

、

β

表示）；(2) 说明再补什么条件可以判定

△ A B C ≅ △ C D E

。已知：

B

、

C

、

D

共线，

∠ A B C = ∠ A C E = ∠ C D E = α

，

∠ A C B = β

。

解答

1 $∠ A C B + ∠ A C E + ∠ D C E = 18 0^{\circ}$
依据平角
2 $∠ D C E = 18 0^{\circ} - α - β$
依据代入已知角
3 $∠ B A C = 18 0^{\circ} - ∠ A B C - ∠ A C B = 18 0^{\circ} - α - β$
依据三角形内角和
4 $∠ B A C = ∠ D C E$
依据等量代换
5再给 $A B = C D$ ，则 $△ A B C ≅ △ C D E$
依据ASA：两角（ $∠ A B C = ∠ C D E$ ， $∠ B A C = ∠ D C E$ ）夹一边（ $A B = C D$ ）

结论与点评两个角都等于

18 0^{\circ} - α - β

。要判定全等，必须补一组**对应**边：

A B = C D

、

B C = D E

或

A C = C E

中的任意一个；其中

A B = C D

配合两组角组成 ASA，最常用。

常见变式

变式 1一线三垂直（α=90°）

三个角都取

9 0^{\circ}

时就是一线三垂直模型，此时常见的附加条件是

A D = A E

或

A B = A C

，结论是

A B = C E

、

B D = A C

、

B C = B D + C E

。

变式 2等腰三角形中的三等角

在

△ A B C

中

A B = A C

，

D

在

B C

上，

∠ A D E = ∠ B

，

E

在

A C

上，则

△ A B D

与

△ D C E

的三个角分别相等；若再给出

B D = C E

（或

A B = D C

），两者全等。

变式 3中点位置的三等角

若

C

恰是

B D

的中点，则

B C = C D

，但它们不是对应边（

B C \leftrightarrow D E

），仍然不能判定全等，必须另找对应边。

变式 4120° 三等角

三个角都取

12 0^{\circ}

时，平角推导仍然成立，

∠ B A C = ∠ D C E

依旧是核心结论，只是

∠ A C B + ∠ D C E = 6 0^{\circ}

。

易错点

!看到三个等角就写 $△ A B C ≅ △ C D E$ ：三组角相等只保证形状相同，必须有对应边相等。
!对应关系搞错： $A \leftrightarrow C$ 、 $B \leftrightarrow D$ 、 $C \leftrightarrow E$ ，所以 $B C = C D$ 不是对应边相等。
!忽略 $A$ 、 $E$ 必须在直线同侧，否则平角关系变成互补，角的关系要重算。
!把 $∠ A C B$ 与 $∠ D C E$ 的和写成 $18 0^{\circ}$ ：实际是 $∠ A C B + ∠ D C E = 18 0^{\circ} - α$ 。

关联模型

全等

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

标出三个等角，锁定待证的两个三角形

借平角把“第三个角”挤出来

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

一线三垂直模型

旋转全等模型

手拉手模型

相似三角形判定与性质（相似基础）